Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen. 349
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genz der Reihe F v (x) nothwendigen Bedingungen wählen kann
V — 1
d. h. entsprechend der Ungleichung:
Deshalb aber convergirt auch die um eine endliche Anzahl von
Gliedern F v (x) vermehrte Summe
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^ F r{x)
v rzr 1
in einer Umgebung der Stelle x 0 gleichmäfsig und läfst sich dort in
eine Potenzreihe
entwickeln und definirt somit wirklich eine analytische Function F(x).
Ist keine der Stellen a v und auch h nicht unendlich, so kann
man diese Function F(x) in der Umgebung x = oo durch eine Reihe
darstellen; aber in einem Bereiche:
\x dfi \ <C Qfi i
der aufser a^ keine andere Stelle o^ enthält, wird die Differenz
Fix) - F h {x)
durch eine Poteuzreihe zu definirei! sein, d. h. man hat
daselbst
- ^(¡¿¡¡) + «PC*!«*)
und falls ai = oo ist,
F(x) = Gi(x) + •
Darnach besitzt die Function F(x) in der That das genannte Ver
halten und definirt eine eindeutige analytische Function mit den un
endlich vielen singulären Stellen a v und h, von denen a v je nach der
eine aufserwesent-
Beschaffenheit der ganzen Functionen G v
lieh oder wesentlich singuläre Stelle sein wird.*)
Bei der Construction von F(x) blieben noch unendlich viele Gre
isen gewissermaßen willkürlich, darum gibt es auch unendlich viele
Functionen der verlangten Art. Die Addition einer überall aufser in
•) Vergl. auch Casorati, Aggiunte a recenti lavori dei Signori Weierstrafs
e Mittag-Leffler (Annali di matematica pura ed applicata perie II 3 , tomo X.