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Sechstes Capitel. 
h regulären Function zu F(x) — und das mufs eine ganze Function 
sein — gibt wieder eine Function derselben Beschaffenheit. 
Indem man 6r (—■—-^) noch in eine gleichmäfsig couvergente Summe 
ganzer Functionen g v 1 zerlegt und ,F v (aO -f- g v mit <&„(#) be 
zeichnet, erscheint auch die neue Function als Summe unendlich vieler 
Functionen, deren jede aul'ser h nur eine singuläre Stelle a v besitzt. 
Ist umgekehrt eine eindeutige analytische Function F{x) gegeben, 
deren Stetigkeitsbereich durch die Stellen 
a \ > ( h} a s> • • • 
und die Häufungsstelle b begrenzt ist, und die ferner in der Umgebung 
der isolirteu singulären Stelle a v in der Form 
(a: _ a v ) + ~ üv ) 
darstellbar ist, wo G v eine mit dem Argument —-— verschwindende 
; ö x — a v 
ganze rationale oder transcendeute Function bezeichnet, je nachdem 
a v aufserwesentlich oder wesentlich singulär ist, so leite man aus den 
Functionen G v in der angegebenen Weise die Functionen F v {x) und 
CO 
dann ^F v {x) ab. Darauf wird 
V = 1 
co_ 
F{x) — 2 F *i?) 
V ~ 1 
nur eine ganze Function G sein. Nach der Zerlegung 
V — 1 
und der Vereinigung F v {x) -f- 9v\^rzry ~ ®v{ x ) w ^ ri ^ die gegebene 
Function F{x) durch eine unendliche Summe analytischer Functionen 
dargestellt, deren jede neben h nur eine einzige singuläre Stelle a v 
besitzt. Damit ist der zu Beginn dieses Paragraphen verlangte Satz 
in dem Umfange bewiesen, dafs die Stellen a v auch wesentlich sin 
gulär sein können. 
Wir machen noch eine Bemerkung über die Ermittlung der ganzen 
Zahlen m v . Die eindeutige Function F{x) besitze die unendlich vielen 
aufserwesentlich singulären Stellen erster Ordnung 
Cti y (X^ y • • • Clv ^ o • • 
unter denen die Null nicht verkommen soll, und die wesentlich sin 
guläre Stelle oo. Heifsen ferner die den Stellen a v zugeordneten Func 
tionen