Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen.
355
m v
I\{x) = -
so ist
00
F{x) = ^F,{x)
V = 1
der Ausdruck, welcher in der Umgebung jeder von der Menge
verschiedenen Stelle x 0 regulären Verhaltens ist und in der Umgebung
einer Stelle der isolirten Puuktmenge Q durch
dargestellt wird. Jeder andere Ausdruck gleicher Art entsteht aus
F{x) durch Addition eines neuen analytischen Ausdruckes, der nur an
den Stellen von Q' nicht regulären Verhaltens ist.
Zum Beweise zeige man, dafs in einer Umgebung p von x 0 , die
keine Stelle der Menge Q-\-Q' enthält, F(x) gleichmäfsig convergirt.
Nennt mau die untere Grenze aller Werthe \x — b\ l, wo x jede
Stelle des Bereiches \x — x Q \ < q bedeutet, so dais also
\x — h v \>l ( V = 1,2,3...),
und setzt al — &, so wird für alle Werthe v^>n } für die \a v — h v \
< & ist,
<
©
£.
Weil daselbst
I Fy ('%) 1 &V) CO
so leuchtet ein, dafs bei einer endlichen Summe die Reihe
CO V = 1
F v {x) gleichmäfsig convergiren wird, denn man kann n so
v — L
wählen, dafs
co
^\F v {x)\ (n'^>n)
V — n'
für alle Stellen der Umgebung q von x 0 kleiner wird als eine beliebig
kleine vorgegebene Gröfse J.
Da aber auch die Diiferenz
co
- Fi(x)
V := 1
in der Umgebung von a\ gleichmäfsig convergirt, besitzt die analy-
co
tische Function F[x) = ^F v {x) und endlich F{x) -f- <&{x) die ge-
V — 1
nannten Eigenschaften, wenn (&{x) nur mehr au den Stellen h v irre
gulär ist.