Darstellung der eindeut. analyt. Functionen einer Veränderlichen. 
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guläreu Stellen a x , a 2 ... als Summe eines Ausdruckes ^jF v {x) und 
V = 1 
einer Function darstellen, die nur an den Stellen der aus der isolirten 
Punktmenge (a,, a 2 ,. ..) abgeleiteten Menge Q' nicht regulären Ver 
haltens ist, denn nach dem Laurent'schen Satze kann man F{x) in 
der Umgebung von a v in der Form 
&v (^ x _ a ^j + — a v ) 
ausdrücken. 
§ 56. Arithmetische Ausdrücke, die mehrere Functionen ganz 
oder theilweise darstellen. 
Es soll nunmehr untersucht werden, ob ein und derselbe Aus 
druck in verschiedenen Bereichen seiner gleichmäßigen Convergenz 
verschiedene Functionen vollständig oder nur theilweise darstellen 
kann, oder ob er in manchen Bereichen Functionen vollständig und 
in anderen nur theilweise darstellt. 
Diese Frage ist von der oben angeregten verschieden, und wir 
werden hier nicht erfahren, ob die früher construirte Function F{x) 
mit den singulären Stellen ($+$') in den continuirlichen Bereichen, 
die man erhält, indem man die Menge aus dem Bereiche der 
unbeschränkten Variabeln ausschliefst, lauter monogene Functionen dar 
stellt, die über diese Bereiche nicht fortzusetzen sind. Wir werden 
uns aber mit der Antwort auf die erste Frage begnügen und es als 
wahrscheinlich hinstellen müssen, dafs F(x) nicht blos monogene 
Functionen vollständig darstellen wird. 
M. Tannery hat eine Reihe gebildet, die in der Umgebung jeder 
Stelle x, für welche |íc|^1 gleichmäßig convergir! und den Werth 
-j- 1 oder —1 besitzt, je nachdem )x1 ist. 
Er geht von der Bemerkung aus, dafs unter der Annahme einer 
unendlichen Reihe positiver ganzer Zahlen 
n 0 , Wj , fi 2 , ... fly } ... 
mit der oberen Grenze oo 
4 I 
liml+i (-1 
n v —- 
V = CO 1 X 
ist, je nachdem \x \ ^ 1 ist. Setzt man dann 
i -t I ^ ( .i i 
1 + X _ 1-M L srt 1 + 
1 — x 
1 — X 
so ist 
n 0 "f - Xi 
(U = l 
1 + ÍC 
l /x— 1 
1 — X 
1 — x