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Sechstes Capitel.
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(l-f x>
1+®*- 1 )
[l-x>
1 — x^ —1 J
1-»"" ¡él
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die verlangte Reihe. Bezeichnet hierauf x eine rationale Function von
x, so wird die Gesammtheit der Stellen x, für welche der absolute
Betrag von x' gleich 1 ist, in dem Bereiche der Variabein Continua,
in denen \x'\ kleiner ist als Eins, von continuirlichen Bereichen tren
nen, wo \x\ > 1. Dann aber ist iß{x) — %{x) die Summe unendlich
vieler rationaler Functionen, die in den Bereichen, wo ist, den
Werth pp 1 besitzt; aber dort, wo \x\=l ist, convergirt %{x) nicht.
Ist x nur eine lineare Function von x = |
x
ax -f- ß
yx -f- 8
= fix),
wo die Coefficienten durch Division von j/ccd — ßy stets so umzuwan
deln sind, dafs ad — ßy — 1 wird, so wird die Gleichung eines
Kreises um die Stelle m -J- in in der Form:
| x — (m -f- i n) | = r
oder
A{tß -f- V 2 ) — 2mA£ — 2nArj -j- (m~ -{- n 2
oder in der Form zu schreiben sein:
r*)A = 0
Axx 0 + Bx + B 0 x n + C = 0,
wenn x 0 und B {) die coujugirten Werthe von x und B und A und C
reelle Gröfsen sind. Das aus diesem Kreise durch die Substitution
x'~m „ml < =
abzuleitende Gebilde:
A {ax+ß) {a 0 x 0 + ß 0 ) + B{ax + ß) (y 0 x 0 + d 0 ) + B 0 (cc 0 x 0 + ß 0 ) (yx+d)
+ G(yx-f- d) (y 0 x 0 -f d 0 ) = 0
oder
xx 0 (Aacc 0 + Bay 0 + B 0 cc 0 y + Cyy„)
+ x (Aaß 0 + Bad 0 -f B 0 a 0 d + Cyd 0 )
+ x 0 {Aa 0 ß -f- Bßy 0 -f- B 0 ß 0 y -f- Cy 0 d)
+ (Aßß 0 + Bßd 0 + B 0 ß 0 d + Cdd 0 ) = 0,
wo a 0 , ß 0 , y 0 , d 0 die a, ß, y, d coujugirten Gröfsen sind, ist offen
bar wieder ein Kreis.
Wir theilen die Variabeinebene nun durch beliebige Kreise
\x — a t \ = r n \x — a 2 1 = r 2 ,... \x—a n \ = r n ,
von denen niemals zwei einen Bereich gemein haben, in n-f-1 Theile
und bestimmen n Functionen