so dafs \x v \ auf dem Kreise \x — a v \ = r v gleich Eins ist. Dann hat
\x v \ innerhalb des Kreises stets einen Werth und außerhalb des
selben einen Werth, der ^ 1 ist.
Ist z, B. \x v \ {v— 1,2, ... n) in dem Bereiche \x — a v \ < r v klei
ner als Eins und sind
F 0 [x), F x {x),...F n {x)
eindeutige Functionen, deren Stetigkeitsbereich blos durch eine unend
liche Anzahl aufserwesentlich und eine endliche Anzahl wesentlich
singulärer Stellen begrenzt ist, auf dafs sie in einem unendlichen Be
reiche regulär sind, so hat der Ausdruck
n
F 0 (x) -f- — ^(1 + ip{x v )) (F v [x) — F 0 {x))
V = 1
die Eigenschaft, die Function F v {x) so lange darzustellen, als x inner
halb des Kreises r v liegt, und F fl {x) darzustellen, so lange x in dem
Kreise r^ sich befindet, d. h. derselbe Ausdruck stellt in verschiedenen
Theilen seines Convergenzbereiches verschiedene Functionen nur theil-
weise dar. Sollten aber die Functionen F x (x), .. . F n (x) nur innerhalb
der Kreise r x ...r n , und sollte F n (x) aufserhalb aller Kreise allein
existiren, so stellt derselbe Ausdruck verschiedene Functionen voll
ständig dar.
Sind andrerseits die n Kreise so gewählt, dafs jeder von dem fol
genden umschlossen wird, wobei der Bereich der Variabein x wieder
in n-(-1 Theile gesondert ist, so wird der Ausdruck
n
Y C^n+i(«) + F x [x]) — i x ) ~ F v {x))ip(x v )
V 1
in dem ersten Kreise F x (x), in dem daran grenzenden ringförmigen
Gebiete F 2 (x) usw., endlich aufserhalb des letzten Kreises F n+i [x)
darstellen. Wenn die Functionen F x (x) ... F n +i (x) nur eine endliche
Anzahl wesentlich singulärer Stellen besitzen, stellt der genannte Aus
druck in den einzelnen Bereichen Theile verschiedener Functionen dar,
wenn aber F x (x) innerhalb des ersten, F 2 ix) innerhalb des zweiten
usw., F^i (x) innerhalb des letzten Bereiches allein existirt, repräsen-
tirt derselbe Ausdruck mehrere Functionen vollständig, und wenn end
lich F x (x) innerhalb des ersten Kreises, F 2 {x) in dem zweiten Kreise
und F n+l (x) innerhalb der ganzen Ebene existirt, so bringt unser
Ausdruck eine Function, nämlich F x (x), vollständig und die übrigen
nur theilweise zur Darstellung.
Wir sehen also an diesen einfachen Beispielen, dafs alle der früher
genannten Fälle Vorkommen.
I