Die Elemente der Arithmetik. 
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d. h. ist Bestandtheil von a. Bringt man die Gröfse a nach Ver 
einigung einer endlichen Anzahl von Elementen auf die Form 
a — a x -f- «2? wo a \ ^ ist; 
so wird 
. 2 
a 2 < 
1 n 
Wählt man nun eine beliebig kleine Gröfse 8, so kann man nach 
einer endlichen Anzahl von Operationen einen solchen Bestaudtheil a x 
aus a herausgreifen, dafs a — a x < 8 wird. Man hat n nur so grofs 
2 
zu wählen, dafs — < 8 ist. 
Sind zwei gleiche Gröfsen a und b gegeben, so zerlege man die 
selben durch eine endliche Anzahl von Transformationen in 
a = a x -j- (i2, b = bj —{- b 2 , 
wo a 2 linc ^ ^2 kleiner sind als eine positive Gröfse 8. Weil der abso 
lute Betrag von a x —b x , den wir mit |a l — b x | bezeichnen, auch 
kleiner ist als 8, erhalten wir den Satz: 
Aus zwei gleichen Zahlengröfsen a und h lassen sich stets solche 
Bestandtheile a x und b x herausnehmen, dafs die Differenzen {a — af), 
{h — hf) und der absolute Betrag (a x — b x \ Meiner wird als eine belie 
big Meine vorgegebene positive Gröfse. 
Dieser Satz wird durch seine Umkehrung von Bedeutung, die fol- 
gendermafseu lautet: 
Kann man von zwei Gröfsen a — a, -j- a.,, b — b x -f- b 2 , wo die 
Bestandtheile a 2 und b 2 Meiner sind als eine vorgegebene beliebig Meine 
Gröfse 8, zeigen, dafs auch \a x — b x \ < 8 wird, so sind a und b ein 
ander gleich, d.h. jeder Bestandtheil von a ist in b und, umgehehrt jeder 
Bestandteil von b ist in a enthalten. 
Beweis. Es sei c ein Bestaudtheil von a, dann zerlege man a 
derart in a x -f- a 2 , dafs a 2 < 8 und a x > c wird. Ferner sei in 
b = b x -f- b 2 b., < 8 und | a x — b x \ < 8. 
Zufolge der letzten Bedingung ist entweder a x Bestaudtheil von b x , 
und dann wird c in a und b enthalten sein, oder es ist b x Bestandtheil 
von a x , also a x — b x < 8. Es sei a x = b x e, wo s ebenso wie a x 
und b x eine rationale Zahleugröfse bedeutet, die kleiner sein soll als 8, 
dann wird b x > c — £ und b — c > b 2 — £. Nehmen wir an, dafs c 
kein Bestandtheil von b sei, so mufs s > b 2 sein und a x — b x = s wird 
nicht kleiner als das beliebig kleine 8. Ist aber c.Bestandtheil von b, 
so wird s < b 2 und unsere Bedingungen sind erfüllt. Damit ist der 
Satz bewiesen.