Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen.
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doch weil man einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Stellen
dieselben wesentlich singuläre Stellen der Bedingung lim \a v — b v \ = 0
oder lim|« v —ß v \=0 gernäfs zuordnen kann, erhält das Product auch
die Gestalt:
00
wo G v und G v ganze Functionen ihrer Argumente bezeichnen.
Dafür endlich kann man noch die weitere Form
ansetzeu, wenn man die denselben singulären Stellen b v zuzuordnenden
Null- und Unendlichkeitsstellen a v und a v zusammenfäfst. Gehört
einer besonderen Stelle bx keine Null- oder Unendlichkeitsstelle zu, so
^^ ^ beziehungsweise G v
durch die Ein
wird für diese G v
heit zu ersetzen sein.
Damit ist eine Darstellung einer eindeutigen monogenen Function
mit unendlich vielen wesentlich singulären Stellen gewonnen, deren
Form der Darstellung einer Function mit einer wesentlich singulären
Stelle analog ist. Aber ebenso läfst sich jede monogene eindeutige
Function mit vorgegebenen Null- und aufserwesentlichen ünendlich-
keitsstellen ausdrücken, denn wenn eine solche Function auf die ge
nannte Art bestimmt ist, so wird der Quotient der gegebenen und
dieser Function eine innerhalb 91+$ reguläre Function ef° (x \ —
Es ist nun auch ersichtlich, dafs wir für diese Functionen bezüg
lich ihrer Beschaffenheit in der Umgebung wesentlich singulärer Stellen
dieselben Untersuchungen anstellen können, wie über die Function mit
einer einzigen wesentlichen Singularität. Zunächst wird eine Function
F{x) aufserhalb eines dem Bereiche 91 + Q entnommenen Theilberei-
ches 95 dem absoluten Betrage nach gewifs gröfser als irgend eine
vorgegebene Gröfse R, und F(x) mufs in unendlich kleiner Umgebung
der wesentlich singulären Stellen einen unendlich grofsen Werth an-
nehmen. Dann kommt ihr Werth daselbst jeder Gröfse beliebig nahe, da
dieselben wesentlich singulären Stellen besitzt wie F(x) selbst.
F{x) — A
Die eindeutige Function wird aber auch jedem Werthe A aufser
halb eines Bereiches 93 beliebig nahe kommen, und dann gibt es in
beliebiger Nähe von + einen Werth A i , den sie aufserhalb 93 wirklich
erreicht, z. B, für x — x i .
