Siebentes Capitel. 
I. Abschnitt. 
Doppelíperiodisclie Functionen. 
§ 58. Allgemeine Eigenschaften der doppeltperiodischen Functionen, 
die im Endlichen den Charakter rationaler Functionen besitzen.*) 
Wir wenden uns wieder zu der Aufgabe, analytische Functionen 
zu ermitteln, welche besondere Eigenschaften geniefsen. 
Eine analytische Function f\x) hiefs periodisch, wenn bei be 
liebigem Werthe ihres Argumentes für gewisse constante Gröfsen w 
die Gleichung 
f{x |w)= f(x) 
besteht. Jede solche Constante w nannten wir eine Periode und jedes 
ganzzahlige Vielfache derselben ist wieder eine Periode, 
Man kann zunächst zeigen, dafs eine eindeutige oder endlich viel 
deutige analytische Function f{x) keine unendlich kleine Perioden be 
sitzen könne. 
Andernfalls hätte nämlich f{x) in der Umgebung einer regulären 
Stelle x 0 , wo die Darstellung 
m = n*o) + rw tí 5 +rw • ^r 2 h— 
gilt, unendlich oft den Werth f{x 0 ) oder es gäbe in jeder Nähe von 
Xq unendlich viele Stellen, an denen 
fW ^ + f\x„) + ■■■ 
verschwände und das ist mit der nothwendigen Voraussetzung, dafs 
f\x) — A#o) n icht identisch Null ist, unvereinbar. 
Es gibt daher in einem endlichen Bereiche nur eine endliche An 
zahl von Stellen x + w, an denen f\x -f- w) —f{x) ist oder nur eine 
endliche Anzahl von Perioden, deren absoluter Betrag eine endliche 
Grenze nicht überschreitet. 
*) Vergleiche die Formeln und Lehrsätze von Schwarz und Kiepert’s 
schon genannte Abhandlung.