Unter den Stellen x = \x\(cosqp -f- i sin<p), wo cp constant ist, sei 
2 cor = 12 'w | (cos cp -j- i sin cp) 
diejenige Periode mit dem kleinsten absoluten Betrage, dann sind alle 
übrigen derselben Form 
2 03 = 12 co | cos cp -f- i sin cp) 
ganzzahlige Vielfache von 27o: 2oj — 2wco. Wäre auch 2w'w eine 
Periode, wenn m keine ganze Zahl bedeutet, so müfste nach der Zer 
legung m = n -f- v | v| < 1 zugleich mit 2m7o — 2n'w -(- 2 vlö auch 
2v'co eine Periode sein und deren absoluter Betrag wäre kleiner als 
12 co |. 
Gibt es aufser den Stellen 
2n'55' (n = 1, 2,. . .) 
keine weiteren Perioden, so ist die Function einfach periodisch. Existiren 
aber noch andere Perioden 2n'cJ r , so kann das Verhältnis — vor Allem 
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nicht reell sein, sonst wäre ja mit 
2wto == 2n l 'ca -f- 2v l 7o , 
wo n x wieder eine ganze Zahl und || <! 1 ist, auch 2v { co eine Periode. 
Bezeichnen 2«( 1 ) und 2afi 2) Perioden von nicht reellem Verhältnis, 
so sind alle übrigen in der Formel 
2£, ojü) _f_ 2§ 2 ö( 2 ) 
enthalten, wo und £ 2 reelle Gröfsen bedeuten. 
Unter der Voraussetzung einer blos endlichen Anzahl von Ferioden- 
punkten in einem endlichen Bereiche kann man zeigen, dafs es ein 
Periodenpaar (2ToW } 2'w (2) ) gibt, aus dem alle übrigen ganzzahlig zu- 
sammeuzusetzen sind.*) 
Wählt man nämlich eine Periode, in welcher £ 2 = 0 ist und 
den kleinsten in dem Intervalle: 
0 < 6, ^ 1 
befindlichen Werth anniramt, und dann eine zweite, wo und £ 2 die 
kleinsten innerhalb der reellen Bereiche 
O^S.Cl, 0<| 2 <I 
liegenden Werthe besitzen und nennt diese unter unserer Voraussetzung 
jedenfalls existirenden Perioden von nicht reellem Verhältnis: 
2'tö< 1 ) = 2£ ( ü coü), 2'c5r (2 ) = 2g( 1 2 )o( 1 )+ 2gWra(*), 
so erhält jede Periode 2£ l to ( ü -j- 2£ 2 oj (2) die Form 
2v 1 '5T (1 ) _f_ 2v 2 oT( 2 ) -)-2^ 1 £o (i ) -{- 2r/ 2 £o (2) , 
wo rj { und die Bedingungen 
*) Siehe Weierstrafa, Monatsberichte der Berliner Akad. 1876. 
Siebentes Capitel. I. Abschnitt.