Doppeltperiodische Functionen. 
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gilt, wenn ft und ft' ganze Zahlen sind und t und t' reelle Werthe 
zwischen Null und Eins (0 ein- und 1 ausgeschlossen) bedeuten, so er 
scheint jede Stelle x einem Werthe aus der Gesammtheit von Stellen, 
die durch 
x 0 -f- 2tco -f- 2f co', 0 t < 1, 0 < t' < 1 
definirt sind, congruent. 
Man nennt diese Gesammtheit von Stellen in dem Bereiche der 
Variabein ein Periodenparallelogramm. 
Die eindeutige Function f\x) mit den primitiven Perioden 2 co und 
2a' nimmt offenbar jeden Werth, den sie überhaupt annimmt, in jedem 
Periodenparallelogramm an und weil sie unendlich werden mufs, be 
sitzt sie gewifs unendlich viele Unendlichkeitsstellen und kann keines 
falls eine ganze Function sein. Da die Function ,, /— T denselben 
° f(x) — A 
Charakter hat wie f(x), mufs f(x) in dem Periodenparallelogramm 
jeden Werth annehmen und au jeder der Stelle x {) congruenteu Stelle 
x o + w wird sie den Werth f\x 0 ) in der gleichen Vielheit besitzen wie 
in x 0 , denn es ist 
fix o + w + h) = fix o + h) 
und die Function fix) hat in der Umgebung von x 0 und x 0 -{- iv eine 
gleichartige Entwicklung. 
Sind die singulären Stellen in dem Periodenparallelogramm nur 
aufserwesentlich singulär, so hat f\x) die einzige wesentlich singuläre 
Stelle co und ist durch den Quotienten ganzer Functionen G x {x) und 
G 2 (x) darstellbar, — 
Wir wollen uns nur mit solchen eindeutigen doppeltperiodischen 
•Functionen beschäftigen, die sich im Endlichen durchaus wie eine 
rationale Function verhalten und somit einen und denselben Werth 
nur an einer endlichen Anzahl von Stellen des Periodenparallelogrammes 
annehmen können. 
Es handelt sich zunächst um die Aufstellung ihrer Ausdrücke. 
Nennt man noch Grad der doppeltperiodischen Function die ganze 
Zahl, welche die Anzahl der Unendlichkeitsstelleu im Periodenparallelo 
gramm, jede in der zugehörigen Ordnungszahl gezählt, angibt, so soll 
eine solche Function m len Grades mit den Unendlichkeitsstellen 
Up -j- w (ft = 1, 2... m) 
und den Nullstellen v v -j- w (v = 1,2 ...n) construirt werden. 
Bezeichnet gfu) eine ganze Function, so mufs jede eindeutige 
Function der verlangten Art in dem Ausdrucke 
<p(w) —— 7 r 7———7--e 9(u) 
' a{u —■ v t ) a{u—v 2 ).. .g(u — v n ) 
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