372 
Siebentes Capitel. I. Abschnitt. 
enthalten sein — wo ö(u) die in dem vorigen Capitel aufgestellte 
ganze Function mit den Nullstellen 2 g co -j- 2 g co' bedeutet —, aber 
damit cp{u) die primitiven Perioden 2« und 2co' besitze, oder die Glei 
chungen 
cp{u -f- 2tu) = <p(u) und cp(u2 co') — cp{u) 
gelten, müssen noch eine Reihe von Beziehungen bestehen, die mit 
Hilfe der bekannten Gleichungen: 
ö(u — u 0 -J- 2co) — — uo+oi) 6 (^ u — M() ) f rj = 
ö(u — Uq -f- 2«') = 6 2 (m — Ko-J-to') ? r[ — 
leicht zu finden sind. Es ist: 
cp {u -j- 2 w) = cp (u) (— 1)’ 
( VI 71 \ 
2 u u~ 2 v v )+fl r («+ 2M )- 
/.1—1 v—l ' 
( m n \ 
2 u u~~ )+?(“ + 2 w ’)- 
t=X v—l ' 
-fit«) 
m 
cp{u-\-2a) = cp (tc) (— 1) 
und daher mufs man 
m — n = 0 (mod 2) 
g{u-\-2co) — g(u) — — 2r] f{u -f- co) (m — n) — +^W| + 2k 
L fx V J 
g{u -j- 2 ca)—g(u) =— 2rj' £(«-}- co') (m— n) — -f- 7ti 
setzen, wo 7c und 1c' ganze Zahlen bezeichnen. Dilferentiirt man die 
letzten Gleichungen zweimal, so erhält man die Gleichungen 
g"(m + 2oj) = g"(m) , g(u -f- 2ca') = g («t), 
aus denen zu schliefsen ist, dafs die ganze Function g"{x) nicht von* 
u abhängt oder eine Constante ist, denn sie kann als ganze Function 
von u nicht doppeltperiodisch sein. Setzt man daher 
g"(m) = 
d 2 g{u) 
du 2 
= <?, 
so wird g(u) von der Form: 
g{u) = Au 2 -f- Bu -f- C 
und 
^{m -f 2o) — g{u) = 2A(u -f- co)2co -\- B2co 
g (u -f- 2 co') — g (u) — 2 A (u + ca') 2 co' -f- B 2 co'. 
Durch den Vergleich dieser Ausdrücke mit den früheren erhält man 
zunächst die Gleichungen: 
2 A co -{- (m — n) 7] — 0, 2 A co' -f- {m — n)ij' — 0, 
deren Determinante 
2{cor¡' — co' 1]) = -|- 7CÍ