Doppeltperiodische Functionen. 
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ist, je nachdem Weil die Determinante nicht verschwindet, 
sind die Lösungen der Gleichungen 
Ä = 0 und m — n = 0; 
d. h. die eindeutige doppeltperiodische Function, die im Endlichen den 
Charakter einer rationalen Function besitzt, wird in jedem Ferioden- 
parallelogramm eben so oft Null als unendlich und hat daselbst jeden 
Werth in derjenigen Anzahl, welche der Grad anzeigt. 
Da auch die Gleichuugen 
ui 
B CO — 7] ^ (Uft — Vf,) = JvTti 
H = l 
in 
Beo' — 7] ^ (Uf, — Vfj) = k'jri 
M = 1 
bestehen, findet man bei positivem 34(“•■■) 
B 
*.W - 2k'u — 2rf = 2 ^r 03 ’. ~r.Fl = 
6{kul — 1c w) 
<Ha) 
m 
(u u — V/j) = 2kco' — 2k'co — 2To . 
Setzt man endlich e° <= c, so erhält der allgemeinste Ausdruck eiuer 
eindeutigen doppeltperiodischen Function m len Grades die Form 
cp\ 
m . 
, TT e(u — u) 
<«) = A I v» 
fi—i v h 
m 
und zwar ist die Summe der inconyruenten Nullstellen u^ der Summe 
^—i 
in 
der Unendlichkeitsstellen '/^ l v fl congruent: 
,u=l 
I 
m m m 
U fi = Vp + 2(1 a + 2p co' = 2 + 2TS 
U = l 
n=l 
und 
Tj — 2 p 7] -j- 2 p 7]'. 
Man mufs aus dieser Beziehung folgern, dafs eine eindeutige doppelt 
periodische Function ersten Grades nicht existirt. 
Setzt man an Stelle v m v m -j- 2To und für 
<s(u — v m ) = + e 2r ‘ (u - v "~ m 6{u-v m —2Tö), 
so erhält cp{u) die Gestalt: 
a(u — u fl \ 
<P 
w-°/T4 
i“=i