Die Elemente der Arithmetik. 
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d. h. jeder Bestandtheil des Productes ist in aß enthalten und ah ist 
endlich.*) 
Unter steter Verwendung des verallgemeinerten Gleichheitsbegriffes 
lassen sich die Multiplicatiousgesetze beweisen und endlich ist auch 
ah = ah', wenn h — h' ist. Dazu mufs wieder jeder Bestandtheil y 
von ah auch in ah' enthalten sein und umgekehrt. 
In y kommt ein Bestandtheil von a und einer von h vor, der letztere 
ist auch in h' enthalten. Es läfst sich also stets ein Bestandtheil 
(hf + + h hm) von h' angeben, der mit dem in Rede stehen 
den Bestandtheil von a multiplicirt zu einem Producte führt, das 
gröfser oder gleich y ist. Folglich ist y auch in ah' enthalten. 
Umgekehrt ist jeder Bestandtheil von ah' auch in ah enthalten, 
und darum ist ah — ah'. — 
Jetzt sind wir zu heurtheilen im Stande, wann die Summe einer 
vorgegebenen unendlichen Menge (zuerst hlos) 'positiver und rationaler 
Zahlengröfsen a,, a.,.. . a n , d. i, diejenige Gröfse, welche alle Elemente a v 
in derselben Vielheit wie die Menge enthält, eine bestimmte Bedeutung 
hat. Vor allem darf kein Element oder Summand a v unendlich sein 
und keiner unendlich oft Vorkommen, sonst wäre die Summe auch un 
endlich und darum unbestimmt, weil wir nur sagen können, sie ist 
gröfser als jede endliche Zahlengröfse, Ferner mufs jede aus einer 
endlichen Anzahl von Elementen a v gebildete Summe kleiner sein als 
eine angehhare Zahlengröfse, damit die Summe der unendlich vielen 
Elemente endlich ist. 
ln der That, bedeutet S m die Summe irgend einer endlichen An 
zahl von Elementen, so kann man in der Reihe von Summanden 
6?2, .. • a n , .. 
ein n stets so bestimmen, dafs 
n 
ist. Wäre nun S m > G, wo 6r irgend eine angebbare Zahlengröfse 
bezeichnet, so besäfse S m einen Bestandtheil, der in Gr nicht mehr ent 
halten ist. Doch weil S m nur Bestandteile besitzt, die der Summe 
aller Elemente a v angehören, so müfste die Summe unendlich sein, in 
dem ja G beliebig grofs gewählt werden kann. Die genannte Bedin 
gung ist also notwendig; sie ist aber auch hinreichend, denn wenn 
eine Zahlengröfse g > S m existirt, wird 
n m n 
*) Hier ist h v das Zeichen für 6, -f- h 2 -)- • • • b *, das 
Zeichen für die Summe aller Combinationen a /u b r , wenn fi und v die Zahlenreihen 
1, 2 ... m und 1, 2 ... n durchlaufen.