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Doppeltperiodische Functionen. 
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§ G4. Eindeutige Functionen des Periodenverhältnisses. 
Hat man zwei primitive Perioden 2(o x und 2cj 3 gefunden, für die 
dl Vwfi) > °> p ^ = e >’ P(®a) = c 2 7 P (®s) = e 3 
ist, so werden mit Hilfe der Gleichungen 
(m) 
g{u) 
]/p{u)—ei (A= 1,2,3), 
die ihrerseits die Quadratwurzeln j/p{u) — ex als eindeutige Functionen 
von u definiren, die sechs Quadratwurzeln^^—e v in folgender Weise 
bestimmt sein: 
]/c 
e.> 
V G i~ e 3 = 
ffjiß»!) 
a(co,) ~ 
<T(co 1 ) ff(i» 2 ) ’ 
ye 2 — e i = 
(T, (co*) 
ö(oj 2 ) 
e>/l Wa ff(« 3 ) 
ö(coi)<j(co 2 ) * 
a 3 (co 2 ] 
a[co 2 ) 
e %a ’ 2 <;((»,) 
G(C0 2 ) <>(0)3) * 
VH C 2 ~ 
^2(^3) 
<t(co 3 ) 
e %i ° 3 <>(<»,) 
c(« 2 ) ff(® 3 ) ’ 
6, (co 3 ) 
//c, C 3 — 
ff 3 (co,) 
ff (ta 2 ) 
c(flj|)c(i0 3 ) ’ 
c(a3 3 ) 
C(fiOi) ff(iOj) 7 
— was man mit Hilfe der Relation 
n(M-j-2aT) = (—1 ^P9+p+q (ß~i(u+(S) 
wo w'=p« 1 +gc>3 ist, leicht bestätigen kann —, und zwischen ihnen 
bestehen die Beziehungen: 
o 
¡/e 2 — Cj = 
Ve, — e, = —ife, - e 3 , 
■i ¡/ e 2 
'3 ) 
weil e a = i ist. 
Für die Gröfsen ergeben sich folgende Ausdrücke: 
/ N Yi giv2«>2 
0(£ö,) = 
]/ci — e 2 |/e, — e 3 
0(a 3 ) 
p / e i — e 2 j/e 2 — e a 
V e ‘ C 3 Y e 2 e 3 
wenn ]/i für e 4 gesetzt wird, und hierin haben die vierten Wurzeln 
nur solche Werthe, deren Quadrate den oben genannten Werthen 
gleich sind. 
Da ferner 
<?3(co t ) 
(7 2 (ro 3 j 
C1O2) 
ist, wird noch 
V G 2 C 3 34 e 3 > 
V G \~ G i = — e 3 > 
F" e 3 
-ix/ct — e 3 
e i = —**' / e i —C3