Doppeltperiodische Functionen. 
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durch (2n) malige Differentiation nach {xp) die Relation ab: 
( • 
'•T/i -(- fi- 
in welcher die rechte Seite convergirt, solange | e 2Äir ^’ | < 1, so gibt 
deren Anwendung die Formel; 
+ CO 
2 
c n 
2 
(2 co,) 2ra 
/.i — l X = 1 
7t ix X 
'1 n ixX 
Der rechtsstehende Ausdruck ist der früheren Summe /Y-—r—r—) 
^>“1+^ «v 
gleich, sofern nur | e t7ti \ < 1 oder in x — a -f- ßi ß positiv ist. Er 
stellt eine analytische Function dar, denn die für den Klammeraus 
druck zu setzende Poteuzreihe nach e tni convergirt in der positiven 
Halbebene von x, kann aber darüber hinaus nicht fortgesetzt werden, 
weil sie für jeden rationalen Werth von r unendlich wird. Die Grofsen 
c v sind also analytische Functionen von co l und cj 3 . 
Bei den oben genannten Substitutionen mit der Determinante 
pq —pq ~ 1 wird zugleich mit auch positiv. Hat 
man demnach zwei eindeutige Functionen von töj und oj 2 , die in der 
positiven Halbebene von x nach Potenzen von e t7ti zu entwickeln sind, 
und bei einer ganzzahligen linearen Substitution mit der positiven 
Determinante I um denselben Factor geändert werden, so ist deren 
Quotient eine eindeutige Function von x, die nur in der positiven Halb 
ebene existirt und bei den linearen Substitutionen 
(‘»-ßr-i) 
uugeäudert bleibt. 
Offenbar ist 
eine solche Function, denn weil 
9'i = 60c 2. 9i = 14 0c 3 
ist, fällt im Zähler und Nenner der bei einer der in Rede stehenden 
1 \12 
Substitutionen sich ändernde Factor f—) aus. 
\ ¿(Oy' 
Da 
-f“ = - ( e t e 2 + c 2 e 3 -f e 3 c,) = 4" {eß -f e.ß + e 3 2 ) 
ist, kann man 
*- i 0 - (*. - f - rh - f+»■)(« 
setzen, und weil 
i