Einleitung in die Theorie der Functionen mit linearen Substitut, in sich. 409
setzen; mau sieht, dais g.¿ an der Stelle x — i verschwindet.
Setzt man endlich 4-= = oo, ohne dafs co, Null ist, so wird
1. rn. 1, 1 1 '
J(x) = oo, denn dann verschwindet 16 6r, aber
J(t) • e 2nit
hat für x — ioo einen endlichen von Null verschiedenen Werth, und
die Stelle x — ¿oo ist für J(x) eine wesentlich singuläre.
II. Abschnitt.
Einleitung in die Theorie der Functionen mit linearen
Substitutionen in sieh.
§ 65. Normalformen der Substitutionen.
Functionen mit einer Fundamentalsubstitution.
Zur näheren Beurtheilung der eindeutigen Function J(x), welche
bei gewissen linearen Substitutionen des Argumentes ungeändert bleibt,
richten wir die Frage allgemein nach eindeutigen analytischen Func
tionen F{x) der Beschaffenheit, dafs für bestimmte lineare Substitu
tionen
au Stelle von x die Gleichung
bei jedem Werthe x aus dem Innern oder der Grenze des Stetigkeits
bereiches von F{x) besteht.
Wenn wir auch nicht im Stande sind, die Theorie dieser Func
tionen zu entwickeln, so soll doch gezeigt werden, wie die functionen
theoretische Behandlung der gestellten Frage ausfallen mufs, und das
thuu wir um so lieber, als dabei hervorgeht, dafs die auseinandergesetzte
Theorie der doppeltperiodischen Functionen prototyp ist.
Wie bei der Frage nach den doppeltperiodischen Functionen zu
nächst die gegenseitige Beziehung der Perioden untersucht wurde,