410 
Siebentes Capitel. II. Abschnitt. 
müssen wir liier vor Allem die Substitutionen selbst betrachten. Wir 
nehmen hierbei gleich den Satz vorweg, dafs es keine eindeutige oder 
endlich vieldeutige Function geben kann, die unendlich kleine Sub 
stitutionen f\x) besitzt, d. h. solche, für die \x — /'(#)[ kleiner ist als 
eine beliebig kleine Gröfse. — 
Wir nehmen an, dafs die Substitutionscoefticienten a,h, c, d, die 
im allgemeinen complexe Gröfsen sein werden, eine Determinante 
ad — hc 
gleich Eins besitzen, denn die Division des Zählers und Nenners in 
f{x) durch ]/ad — hc gibt Coefficienten der verlangten Art. 
Sind die Substitutionscoefficieuteu reelle Gröfsen, so kann mau 
sie durch Division von Yad— hc oder yhc — ad in andere reelle der 
art umgestalten, dafs ihre Determinante + 1 wird, ln dem letzteren 
Falle ist die Substitution von f(x) an Stelle von x — welche Operation 
durch das Symbol 
(x, f\x)) 
angezeigt werden möge — offenbar unter einer Substitution 
enthalten, wo a, h, c, d feste Gröfsen und cc, ß, y, d reelle Coefficienten 
mit der Determinante Eins sind. 
Bemerkt mau, dafs die Yollführung einer Substitution (x, f'[x)) 
nach der ersten (x, f[x)) eine Substitution 
gibt, deren Determinante das Product der Determinanten 
ad — hc und ad' — h'c 
ist, so wird mau zur Untersuchung der Substitutionen gleicher Deter 
minante blos diejenigen mit complexen oder reellen Coefficienten von 
der Determinante Eins zu betrachten nothwendig haben. 
Man nennt x äquivalent oder congruent x {i) , wenn es vier Gröfsen 
tti, hi, c i} di gibt, welche den Bedingungen: 
a¿ di — hiCi = 1 
genügen. Da umgekehrt: 
diX (i) + (- 
(- Vi) x [l) + a t ’ 
ditti — (— h¿) (— Ci) = 1