Einleitung in die Theorie der Functionen mit linearen Substitut, in sich. 411 
wird, ist auch xW der Gröfse x äquivalent. Ist die erste Operation 
mit (x, fi{x)) bezeichnet, so deutet man die inverse Substitution durch 
{fi(x), x) au. 
Zwei einer dritten äquivalenten Gröfsen sind untereinander äqui 
valent, denn wenn in 
a x x + fr, a 2 x + b z 
c,x + d, ’ 2 c 2 x -(- d 2 
die Determinanten gleich Eins sind, so gibt es auch vier Gröfsen 
a, ß, y, d, für welche 
, r ax 2 -]~ ß 
1 V x 2 + d ’ 
ad — ßy — 1 
wird und zwar ist: 
= («i d 2 — b i c 2 )x 2 + (61 a 2 — a, b t ) 
1 {Cid 2 — c 2 d^)x 2 -j- {d i a 2 — i> 2 c,) 
ad — ßy — {a l d t — h l c l )(a 2 d 2 — h 2 c 2 ) — 1. 
Ist nun F{x) eine analytische Function, für die 
-m 
ist, so wird auch 
F{f№ [x]) = F(x), 
wo f^{x) den durch mmalige Wiederholung der Substitution {x,f{x)) 
aus x gewonnenen Argumentwerth 
/■(/’(.. .fix))..) 
bezeichnet; die Function F{x) bleibt zugleich mit der ursprünglichen 
auch bei den neuen Substitutionen [x, f (m) [x)) ungeändert. — Be 
zeichnet man 
so ist 
(x) 
und 
f№[x) = 
% x +\ 
% x + d ß 1 
a m x + h m _ a m-l( g l a? + &l) + ?> m -l( c i x + ¿t) 
C m X + d m ~ C m-d a i X + + d m-l( C i X + d i) 
Clmdm fomCm — (ilj iZj Cj) n — 1. 
Schreibt man für x f (0) {x), für die inverse Substitution von f^{x) 
/'(— 11 (x) und setzt 
. /‘(-2) (*) _ fi !)(/•(-!) (»)) , /(-«(») = /'(-!) (/-(-2) (X)) , . . . 
f(-m) (x) = /'(-!) if(~ m + l )[x)) , 
so folgt ebenso 
F{f^[x)) = F{x), 
wenn n irgend eine positive oder negative ganze Zahl bezeichnet. 
Es ist möglich, dafs eine inmalige Wiederholung der Operation 
{x, f{x)) zu dem Argumentwerthe x m = x zurückführt.