Einleitung in die Theorie der Functionen mit linearen Substit. in sich.
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die fundamentale Substitution ansehen, und deshalb dürfen wir voraus
setzen, dafs die Function ? i f (x) eine Substitution {x, Kx) habe, in
welcher | K \ < 1 ist. —
Ist aber K = l, so gibt es zugleich mit F{x) eine Function &(x) f
welche die Substitution
if>(x) = x 4 Tt
zuläfst. Setzt man dann
X (x) = ~x,
a#o c eine beliebige Gröfse ist, so hat d*{j i (x)) = W(x) eine Sub
stitution :
Fragt man wieder nach der Substitution y = a l°FtA, ( ]j e m jt
C-f CC “j“ Ci j
«y 4 ß _ ax + ß i r
yy 4 $ Y x -f- S'
sein, so hat man
a x ——ad-\-ßy— yd 1 , h l =—d 2 , c x — y 2 , d x =—ad-{-ßy-\-yd
zu setzen, und wenn a x d x — h x c x = 1 ist, ergibt sich für a x und ä x
die Bedingung
(a, 4- d x y -4 = 0,
unter welcher auch früher K = 1 war.
Nehmen wir an, dafs c=l sei, so ist die aus
P {x) = x 1
gewonnene Substitution
P n) {x) = X 4 n,
und eine Iterirung kann niemals auf x zurückführen, d. h. eine ein
deutige Function F{x) mit einer linearen Substitution (x, x-\- c) hat
für unendlich viele Werthe des Argumentes denselben Werth; sie mufs
transcendent sein. Weil F(x) an der Stelle oo wegen der Gleichung
F(x 4 °°) = F{x) = jP(oo)
jedem Werthe beliebig nahe kommt, ist die Stelle oo eine wesentlich
singuläre. Hat F(x) noch eine andere wesentlich singuläre Stelle ir 0 ,
so sind auch x 0 ^jr ne wesentlich singuläre Stellen.
Die hier genannten Functionen sind die einfach 'periodischen.
Eine eindeutige Function mit einer Substitution y = Kx, wo
| K | ^ 1 ist, hat niemals eine Substitution
(x, P n) (x)) = {%) K n x) = (;x, x),
sie nimmt daher einen und denselben Werth unendlich oft an, und weil
F{K n x) und F