Einleitung in die Theorie der Functionen mit linearen Substit. in sich. 423 
Gehen wir wieder zu einer durch irgend eine endliche Anzahl li 
nearer Substitutionen gegebenen discoutinuirlichen Gruppe zurück und 
fassen auch hier einen continuirlichen, durch Gleichungen und Un 
gleichungen zu definirenden Bereich R 0 inäquivalenter Stellen heraus, 
so geht dieser durch eine lineare Substitution {x, f\{x)) der Gruppe in 
einen Bereich lli über. Inneren Stellen des ersten Bereiches entsprechen 
innere des zweiten, und Grenzstellen des einen werden nur Grenz 
stellen des zweiten congruent sein. Zweifach zu zählende, d. h. sich 
selbst äquivalente Stellen des einen Bereiches, die gewfifs nur auf der 
Grenze liegen können (wie die Stelle i in dem früheren Beispiele), 
werden auch in dem zweiten Bereiche doppelt zu zählen sein oder 
besser zwei aneinanderstofsenden Bereichen gemein sein, und mehrfach 
zu zählende Stellen kann es nicht geben. — 
Die Begrenzung eines Bereiches kann nur durch Kreisbogen (und 
zwar speciell durch geradlinige Strecken) gebildet werden, denn bei 
linearen Substitutionen können Kreise und nur Kreise ungeändert 
bleiben oder in Kreise übergehen. 
Nennt man die Gesammtheit inäquivaleuter Stellen ein Funda 
mentalpolygon, so müssen sich die congruenten Polygone bei einer 
discoutinuirlichen Gruppe an einander reihen lassen, und diese werden 
einen continuirlicheu Bereich wie z. B. die positive Halbebene oder 
eine Kreisfläche vollständig erfüllen. Diesen Bereich erhält man da 
durch, dafs man von irgend einer Stelle x 0 ausgeht, diese allen Sub 
stitutionen der Gruppe unterwirft, dann die Häufungsstellen der x 0 
congruenten Stellen bestimmt, ferner die zu dieser Punktmenge Q ge 
hörige abgeleitete Puuktmeuge Q' bildet und den die Stelle x 0 enthal 
tenden, durch die Menge begrenzten Bereich (9i) fixirt. Die 
einer zweiten Stelle x 0 ' inner- oder aufserhalb (9i) äquivalenten Stellen 
haben ihre Häufungsstellen offenbar wieder in der Menge ($-(- Q'). 
Man kann nun die Aufgabe an die Spitze stellen, einen Bereich 
durch lückenlos aneinander gereihte Polygone auszufüllen, die durch 
lineare Substitutionen ineinander überzuführen sind.*) Man findet da 
bei die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen, denen das Po 
lygon zu genügen hat. Diese Bedingungen auf die Beschaffenheit der 
Substitutionen übertragen, geben die Bedingungen, unter welchen die 
Gruppe discontinuirlich ist und keine Stelle des Bereiches aufserhalb 
des Bereiches hinaustragen kann. In dem Falle zweier vertauschbarer 
Fundamentalsubstitutionen sind uns diese Bedingungen bekannt ge 
worden. — 
Soll nun eine eindeutige Function F(x) existiren, die ihren Werth 
nicht ändert, wenn man x irgend einer Substitution einer discontinuir- 
*) Poincaré, Acta mathematica ßd. 1 und 3.