Einleitung in die Theorie der Functionen mit linearen Substit. in sich.
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Heilst die zu einer Gruppe gehörige Function vom p ten Range
oder Geschleckte, wenn es keine Function p ten Grades gibt, die bei
den Substitutionen ungeändert bleibt, wohl aber eine Function (p-J-l) ten
Grades existirt (wonach die doppeltperiodischen Functionen vom ersten
Range sind), so werden von den r Nullstellen einer Function r ten
Grades und p ten Ranges q Nullstellen oder doch q diesen äquivalente
Stellen durch die r ünendlichkeits- und (r—9) übrigen Nullstellen
bestimmt sein.
Angenommen, diese Sätze seien bewiesen, dann folgt, dafs zwi
schen zwei zu derselben Gruppe gehörigen Functionen F x {x) und F 2 {x)
vom r x und r 2 ten Grade und dem Range p eine algebraische Gleichung
G(F u F 2 ) = 0
besteht.
In der That: betrachtet man F 2 als Function von F x , so gehören
einem Werthe von F x r x im Allgemeinen verschiedene iuäquivalente
Werthe des Argumentes x und diesem r x im Allgemeinen verschiedene
Werthe von F 2 zu. F 2 ist also eine r x heutige Function von F x und
als Lösung einer algebraischen Gleichung r x ien Grades aufzufassen,
deren Coefficienten nur rationale Functionen von F x sind, indem die
elementarsymmetrischen Functionen der zu einem Werthe von F x ge
hörigen Werthe von F 2 als Functionen von F x durchwegs vom Cha
rakter der rationalen Function sind.
Eine rationale Function von F x und F 2 ist wieder eine eindeutige
analytische Function von x, welche dieselben Substitutionen zuläfst
wie F x {x) und F 2 (x).
Zeigt man umgekehrt, dafs jede zu derselben Gruppe gehörige
Function & x {x) rational durch F x und F 2 darstellbar ist (wie jede
doppeltperiodische Function mit dem Periodenpaare (2m, 2 m') rational
durch die zu demselben Paare gehörende Function p{x) und deren Ab
leitung p {x) auszudrücken ist) und bemerkt, dafs & x {x) mindestens
(p-f-1) ünendlichkeitsstellen in dem Elementarpolygoue haben mufs,
so leuchtet ein, dafs die algebraische Gleichung
G{F i> F 2 ) = 0
vom Range q ist. —
Daneben besteht daun der Satz; Sind <D X {x) und 0 2 {x) wieder zu
der Gruppe von F x und F 2 gehörende Functionen, zwischen denen
eine algebraische Gleichung
= 0
besteht, so kann man nicht allein & x und <2> 2 rational durch F x und
F 2 , sondern auch F x und F 2 rational durch und & 2 darstellen,
d. h. die Gleichung F== 0 gehört derselben Klasse an wie die zwischen
F x und F 2 ; sie ist auch vom Range p.