Analytische Functionen mehrerer Yariaheln. 431 
Beginnt die Entwicklung von F n (x) mit dem Gliede Cx m , so wird 
* = _j_ 
F 0 d x x 1 ^ v ' 7 
und indem 
CO 
\ ( p ) l = ^ > X ir • • • oc n ) x~ mX +^ 
0 n — 0 
CO ^ ^ 
( jP {| ) === • • • X n) " *® 1, 
gesetzt werden kann, wo und ^ß v convergente Poteuzreihen sind, 
so erhält man für -i- ~4^~ eine Darstellung der Form: 
F dx ° 
y|r-T + s P(*) 
co 
0iC 
^ßv (^i ) *^2 ' • ‘ • ^'re) ■^' V * 
Man kann jetzt zeigen, dafs innerhalb des Bereiches, wo | x v | < p 
(y = 1, 2 ... n) ist, zu jeder Stelle Werthe von x gehören, die die 
Gleichung 
F{x, x x , ... x n ) = 0 
befriedigen und dem absoluten Betrage nach kleiner sind als p,. In 
der That: könnte mau für eine solche Stelle (a,, a 2 ... a n ) keine Wurzel 
der Gleichung 
F(j (x) F^ (X , d\ j 0><i; • • • ®n) — 0 
finden, d^ren Betrag kleiner ist als p u so liefse sich in dem 
Bereiche, wo \x\ < pj, in eine blos positive ganze Potenzen von x ent 
haltende Reihe entwickeln, die für die in dem Bereiche p 0 < | x ) < pj 
liegenden Stellen mit der früheren übereinstimmen müfste. Doch das 
ist unmöglich, indem diese Entwicklung ein Glied — enthält. 
Heifsen die einer Stelle {x X) x 2} ... x n ) zuzuordnenden Nullstelleu 
von F{x, x l} x 2 , ... x n ) 
xW, x^, ... x^, 
jede so oft genommen, als die Ordnungszahl anzeigt, so kann man 
l dF 
f d 
F __ 
x ¿—J 
rri x — X 
(*) 
in eine für alle Werthe von x, deren Betrag kleiner ist als p,, con 
vergente Potenzreihe iß(a;) entwickeln. Beschränkt man aber \x\ auf 
den Bereich, wo 
0o < M > 0i und | £ (x) | < | # | (jc = 1, 2 ... r) 
ist, so wird auch