Analytische Functionen mehrerer Variabein. 433 
$0*0 = $0*0 — ^ $H-i 
r=0 
ist auch 
CO 
4- T*~ “ 4- Ür + $(*) - + !) ^+> (®t. »2. ■ • •».)*’ ■ 
y v=0 
Ist dann f{x, x x , ... x n ) die für alle den Bedingungen 
| 3? | ; 1 X* v | (V 1 , 2 .. . Yi) 
genügenden Werthesysteme convergente Potenzreihe, deren logarith- 
mische Ableitung nach x gerade 
00 
> $0) ~\~ I) ‘ $v+l {%\ , x^i . •. x n ) • x v 
v—0 
ist, wobei 0, 0, ... 0) den Werth 1 hat, ,so erhält man aus 
JL dF_ = i dg . i df 
F dx g dx ' f dx 
• die Gleichung 
F(x, x^ ... Xn) = Cg{x, Xy } ... x n ) f\xi Xy f ... x n ), 
worin C den schon genannten Coefficienten von x m in F 0 (x) bezeichnet. 
Nun ist F{x, Xy, ... a^) durch das Product zweier Potenzreihen f und g 
dargestellt, deren zweite eine ganze rationale Function von x ist. Da 
die Coefficienten in g und f nicht von den Gröfsen q und abhängen, 
ist die vorstehende Gleichung gütig, solange die Potenzreihen F, g, f 
in der Umgebung von (0) convergiren. 
Will man all die Werthsysteme aus der nächsten Umgebung der 
Stelle (0) angeben, welche die Gleichung F=0 erfüllen, so wähle 
man diese so klein, dafs alle Stellen {x, Xy, ... x n ) derselben in dem 
Convergenzbereiche von F, g und f liegen und f{x, x t , ... x n ) auch 
an keiner dieser Stellen Null wird, dann sind die fraglichen Werthe 
systeme die Lösungen der Gleichung 
g{x, x y , ... x n ) = 0. 
Man bemerke noch, dafs die Coefficienten dieser Gleichung g y , , . . g m 
an der Stelle x i — x 2 = • • - = x n — 0 verschwinden. — 
Lassen wir die bei den vorstehenden Entwicklungen gemachte 
Annahme fallen, dafs F 0 (x) nicht identisch Null sei, so kann man 
durch Einführung (n -f- 1) neuer Yariabeln y, y l} ... y n leicht auf den 
früheren Fall zurückkommen, ln der That; setzt man 
, x = a 0() y -f- ^oi?/i + * ■ + a o n y n 
Xy — a l0 y -f- ciyyy x -f- • • • -f - a inyn 
Xn = a n 0y “f" d n \y\ d nn y n , 
wo die Gröfsen d solche Constante sind, dafs die Determinante des 
Bieimauu, Funotionentheorie. 28