434 Achtes Capitel. 
Gleichungssystems nicht verschwindet und bei der Substitution in die 
Entwicklung 
F{Xj Xy } . . . X n ) = (xf Xy, ... X n )^ —j— (x, Xy , ... X n 
— wo {x f x x , ... ir„)i die Summe aller Glieder A ler Dimension be 
zeichnet — das Aggregat 
(«00» «10» • • * 
nicht Null wird, so geht jP in eine Function 0{y, y x , . . . y n ) über, 
in welcher 
0%, 0, ... 0) = ® 0 (y) = («oo» «10» • • • «*.o)/i r 
-J- («00» «JO » • ' ‘ «mo)/t +1 i/i u + 1 -j- • * • 
nicht identisch verschwindet. Darum läfst sich <P(y, y x , ... y n ) in der 
Form darstellen: 
C'ly + Y x (y u Vv- Vn)y fl ~ x H h JVfoi» &» • • • Vn)] <p{y, Vv ■ • • !f*)» 
worin yt, y 2 » • • • >V* ^ ür y x = y 2 = ' ■ ■ = yn verschwindende Potenz 
reihen sind, indeis die Reihe qpQ/, y x , . .. y n ) an der Stelle (0) keine 
Nullstelle hat. Setzt man die Reihe wieder in eine Reihe f(x, x x , 
# 2 , ... Xn) um und wählt eine positive Gröfse r so, dafs die Reihe f 
in der Umgebung r der Stelle (0) nicht verschwindet und die den 
Stellen (x) entsprechenden Werthesysteme {y x , y?, .,. y n ) dem gemein 
samen Convergenzbereiche der Reihen y x , y 2 ,.. • y m angehören, bestimmt 
dann die jedem solchen Systeme durch die Gleichung 
V/i + Y\ y* l ~ l H h Yn = 0 
zugeordneten y y-Werthe und darauf die zu den verschiedenen Werthe- 
systemen gehörigen Systeme x, x X) ... x n , so hat man wieder die 
Lösungen der Gleichung F{x, x x , ... x n ) = 0 aus der Umgebung r 
der Stelle (0) gefunden. 
§ 69. Der Quotient zweier Potenzreihen. 
Wir benutzen diese Sätze über die an einer Stelle (a) verschwin 
dende analytische Function zur Untersuchung des Quotienten zweier 
in einer Umgebung der Stelle (0) convergenter Potenzreihen: 
Sßtfoj Xy,... x n ) 
%(«. x i} ... x n ) 
Sagt man, dafs iß, durch s $ 2 theilbar sei, wenn sich der Quotient in 
eine neue Potenzreihe $ß 0 entwickeln läfst, so ist gewifs durch ^ß 2 
theilbar, wenn iß 2 (0, 0 ... 0) nicht Null ist, und man hat 
Xy . . . X n ) — X\ . . , Xn) ß 2 {x, Xy . . . Xn) .