Analytische Functionen mehrerer Yariabeln.
435
Ist ip 2 (0, ... 0) = 0, ohne dafs ^ (0 .. . 0) gleichzeitig verschwindet,
so kann man den Quotienten nicht mehr durch eine in der Umgehung
von (0) convergente Potenzreihe darstellen; sollte aber
$,(0,0... 0) und $ 2 (0, 0...0)
verschwinden, so kann unter gewissen Bedingungen durch $ 2 theil-
bar sein.
Vollführt man zunächst die lineare Substitution:
x === C 00 ^ “f“ C 01 + * ' • + Contn
X \ ~ C 10 t 4" C 11 t\ ' * * “h Cintn
X n— c not -f" -(-••• -j- C nn t n ,
deren Coustante wieder so zu wählen sind, dafs die Determinante des
Gleichungssystems nicht Null ist und die Reihen
$1 (Gk) t j Cjfli j • • • GtoQ Und ^p 2 (c 0 o Go*} • • •
nicht identisch verschwinden, so kann man
$1 (X, X\ , ... x n )
= + 9x ft, g • • • t n )^- 1 + • • • + &ft, g... g]$,(*, g... g
= 9i{t> t\,... gg g... g,
$2 » *®1 ) « • • X n)
= P” (*„<2, • • • u)*- x + • • • + g:\tu g...g]$ 2 gg... g
=== 9 2 {t, ,... g ^2 (g g • • • g
setzen, wo die Potenzreihen g\, g' 2 ,... g^ und gl, gl,... gl für ver
schwindende Yariabelnwerthe Null sind und
$i(0,0,..,0), f 2 (0,0,...0)
nicht verschwinden. Es besteht demnach die Gleichung:
%{x, x t , ...x n ) 0,(Ml,...*„)
^(x,x i7 ...x n ) ~~ ^ 2 (i,i lf ...i w )
Ist R eine positive Gröfse derart, dafs für alle den Bedingungen;
... \t n \<R
genügenden Stellen die obigen Transformationen gelten und die Reihen
und $ 2 in diesem Bereiche nicht verschwinden, und ist r eine
positive Gröfse kleiner als R, so gewählt, dafs jedem den weiteren
Bedingungen:
\ti\£r, ••• \k\<Lr
gehorchenden Werthesystemen (¿,, t 2 ,...t n ) zufolge einer der Glei
chungen :
9\ (t,t u ... g = 0 und g 2 (t,t i7 ... t n ) = 0
28*