Analytische Functionen mehrerer Yariabeln.
Durch Einführung der neuen Gröfsen t 0 , .. . t n erhält G{y,
x t ,.. . x n ) in der Umgebung von (6, a l} .. . a n ) die Form:
¿0 + (ßo> • • • tn)\ “f" Go■> tu • ■ • tn)2 + • • •?
wo Go, ,... t n ) (l eine homogene Function y, l0T Dimension ist.
Nach dem Satze des § 68 kann man den genannten Ausdruck in
der Form
Go — $(,(*, , ¿ 2 , • • • t n )) $ 0 Go> t u ...t n )
schreiben, wo (0, 0, ... 0) verschwindet, indefs ?p 0 (0, 0,,..G)
endlich und von Null verschieden ist.
Setzt man jetzt
tn — Gi > t 2 , ... t n )
und löst die früheren Gleichungen nach y — h, x n — a n
auf, so gehen (n -(- 1) für = • • • = t n = 0 verschwindende Potenz
reihen *
x v — a v — (i,, ¿2 j • • • t n ) (v = 1,2
y — h = ip B+ iGi, t 2 , . .. t n )
hervor, welche das durch die gegebene Gleichung definirte Gebilde in
der Umgebung von (h,a l} ...a n ) darstellen, solange sie convergiren.
Wenn die Determinante
(d%\ m (Wn\
\ dti / o V St t /o
fajA . . . (WA
' V^n/o
nicht verschwindet, kann mau die Gröfsen t x ,t 2i ...t n durch Potenz
reihen
«ßW « n |(a))
darstellen und es folgt eine Entwicklung der Form:
aber andernfalls ist eine solche Darstellung unmöglich.
Läfst die ganze Function G{y,x { ,. .. x n ) in der Umgebung ihrer
Nullstelle (b, a t , ... a n ) nach Einführung der Bezeichnungen:
y h = y, x v — a y = l v (v = 1, 2,...»)
nur die Schreibweise zu:
(jli j • • • %n)fi “f" ^1 ) • • • Ín)/ii-1-1 "j" • * ■ — Gl Al 1 • • • £ra) }
wo die Glieder niedrigster Dimension von höherer als der ersten Dimen
sion sind, so bedarf man zur Darstellung des irreductiblen algebraischen