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Achtes Capitel.
Gebildes n leT Stufe mehr als ein Functionensystem der obigen Gestalt,
aber doch nur eine endliche Anzahl.
Hat man aber das algebraische Gebilde in der Umgebung jeder
Stelle durch Potenzreihen in n Hilfsvariabein ausgedrückt, so kann
man das Verhalten jeder rationalen Function
^ = R(y, x i} . ..x n )
die sich wieder auf die Form
f{y,x
bringen läfst, in der f und g ganze rationale Functionen ihrer Argu
mente sind, in der Umgebung jeder Stelle des Gebildes beurtheileu,
denn man kann sie allgemein in den Quotienten zweier Potenzreihen
von £ 2 , ... t n entwickeln.
Denken wir Zähler und Neuner des Quotienten im Falle der ge
meinsamen Nullstelle t t — • • • = t n — 0 von gemeinsamen Theilern
befreit und behält der Nenner hierbei die Nullstelle, so nenne man
die aufserwesentlich singuläre Stelle von der g [cn Ordnung, wenn das
Glied niedrigster Dimension im Nenner die g le Dimension besitzt.
Zwischen z und x x , X 2 ,.. . x n besteht eine algebraische Gleichung.
Um diese zu erhalten, bilde man das Product
W[z,x u ...x n )
x x ...x, n )
wo y№ die zu einem Werthesysteme x i} ...x n gehörigen Werthe von
y sind, und setze
*P {m) (ß, x¡,. . . x n ) = 0.
Die Function W ist irreductibel oder die ganzzahlige Potenz einer
solchen.
Nehmen wir ein System n rationaler Functionen
i X\ } . . . X n ) (V — 1, 2,... n)
auf und fragen nach den Stellen {y, x ] , . .. x n ), für welche diese
Functionen vorgegebene Werthe erhalten, so müssen die Werthe von
x l} ... x n den n algebraischen Gleichungen
^P;v ißv ) Xy , . . . Xn) 0 ( V 1,2,... fl)
genügen. Den einer Lösung x { '.., x n ' zugehörigen Werth von y oder
die entsprechenden y-Werthe müssen den Gleichungen
G{y, x l; ... x n ) = 0 und z v — B y {y, x y ,.. .x n ) = 0 (v = 1, 2, ... n)
genügen.
Jetzt mufs sieh zeigen lassen, dais bei gehöriger Zählung der viel
fachen Stellen das gegebene System rationaler Functionen jedes Werthe-