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Erstes Capitel. 
kleinen positiven Gröfe $ ein m der Beschaffenheit zu finden ist, dafs 
für jedes n^>m der absolute Betrag von S — S n : 
| 8 — S n 1 < d. 
Besitzt die unendliche Menge von Gröfsen eine endliche Summe 
£*, so convergiren die Gröfsen , S 2 , ... S n ... gegen die Gröfse S, 
und convergiren umgekehrt 5j, S 2) .... S n . .. nach S, so ist die 
Summe der Menge S. 
Wieder kann man die aus unendlich vielen positiven und nega 
tiven Elementen zusammengesetzten Gröfsen als Summe der Reihen 
einführen. — 
Mit der genannten Definition der Endlichkeit einer aus entgegen 
gesetzten Einheiten und deren Bruchtheilen gebildeten Gröfse sind die 
jenigen Reihen positiver und negativer Gröfsen a v und b v ausgeschlos 
sen, welche eine endliche Summe besitzen, ohne dafs die Reihen der 
a v und b v für sich allein endliche Summen haben. 
Solche Reihen, in denen und ^Pb v zugleich unendlich sein 
müssen, indem sonst -f- '/*jb v nicht endlich sein könnte, besitzen 
nicht den Charakter von Summen und sollen deshalb aus der Rech 
nung ausgeschlossen werden. Die Additionsgesetze verlieren nämlich 
hier ihre Geltung. Nehmen wir so lange positive Elemente a v , bis 
ihre Summe gröfser ist als der absolute Betrag einer vorgegebenen 
Gröfse c, und dann negative Glieder b v , bis der absolute Betrag der 
neuen Summe kleiner ist als je), nehmen daun wieder positive Glieder, 
bis der absolute Betrag der so veränderten Summe gröfser ist als | c \ 
usw,, so ist die Abweichung von \ c\ nie gröfser als der absolute Werth 
des vor dem letzten Wechsel verwendeten Gliedes a v oder b v . Gibt 
es unter den Gröfsen a v und |&„| unendlich viele beliebig kleine, so 
werden die Abweichungen des absoluten Betrages der auf die genannte 
Weise entstehenden Summe von |c| beliebig klein zu machen sein, 
wenn man nur hinlänglich viele Glieder a v und b Y benützt. Sind dem 
nach unter den Gröfsen a v und |/> v | keine unendlich gröfsen und nicht 
unendlich oft dieselben, dann kann man durch passende Anordnung 
der Summanden die Summen S i} S 2 ... S n .. . so bilden, dafs diese 
nach jeder beliebig vorgegebenen Gröfse c convergiren. Die Summe 
der gegebenen Reihe ist also von der Anordnung der Summanden 
abhängig. *) 
Wir schliefsen diese Reihen aus und behalten blos diejenigen 
Reihen zurück, welche eine von der Anordnung der Summanden end 
liche Summe besitzen. Wir nennen sie unbedingt und absolut conver- 
) Vergi. Riemann’s gesammelte Werke.