Die Elemente der Arithmetik. 
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gent, indem auch die Summen der absoluten Beträge jeder endlichen 
Anzahl von Termen nach einer bestimmten Gröfse convergiren. — 
Wir haben jetzt noch nachzusehen, ob wir den Quotienten zweier 
aus unendlich vielen Elementen zusammengesetzten Gröfsen a und h 
den genannten Forderungen entsprechend definiren können. 
Der Divisor h sei gleich eine aus unendlich vielen positiven Ele 
menten gebildeten Gröfse, denn die Division von a durch eine ratio 
nale Zahlengröfse h — ~ besteht einfach in der Multiplication von a 
mit —, indem dann die neue Gröfse wirklich den Forderungen 
a 7 b ö 
gemäfs definirt ist. 
Es sei h — p -f- q und hierin p zwar gröfser als q, aber doch 
nur ein aus einer endlichen Anzahl von Elementen gebildeter Bestand 
teil von p. Der Dividend sei auch positiv. 
Hierauf nehmen wir die folgenden Transformationen vor: 
n n. / n n 
n \ a 
aq 
p{p + g.y 
aq\ 
p*) 
PiP + 4) P 2 V(P+4) 
p 2 ' p*(p -f- <1) ’ 
aq 3 
~ JP* iP + 2) 
und erhalten für a . die Reihe: 
p+a 
Wir müssen aber zeigen, dais diese formal gebildete Reihe unendlich 
vieler bestimmter Glieder eine bestimmte Bedeutung hat, also die 
Summe jeder endlichen (sonst beliebigen) Anzahl von Gliedern kleiner 
ist als eine angebbare Gröfse, und dafs die Multiplication der neu ge 
bildeten Gröfse mit {p -f- q) a gibt, denn dann haben wir die Divi 
sion durch p -j- q — h oder die Gröfse unseren Forderungen ge 
mäfs definirt. 
Betrachten wir allgemein eine Reihe 
«o + «i c + a 2 c 2 -f ... + a n c n + ... , 
in der die positiven Gröfsen a v rational sind und der absolute Betrag