32 Erstes Capitel.
der rationalen Gröfse c kleiner ist als Eins, und vergleichen sie mit
einer Reihe
a -f- ac -f- ac 2 -{- • • • -f- ac n + •••,
wo a gröfser ist als jede der Gröfsen a v . Die Summe der ersten Reihe
ist gewifs kleiner als die der zweiten, denn jeder Bestandtheil jener
gehört auch dieser an. Die Summe der ersten n Glieder der ersten
Reihe ist nicht gröfser als
a -f- ac -f ac 2 -f~ • • ac n ~ l = a ' c ■
und der absolute Betrag jener Summe ist kleiner als die endliche
Zahlengröfse
a
1 — c
Das gilt für jedes n, daher ist die Summe der ersten Reihe endlich.
Bestellen die Gröfsen a v und c aus unendlich vielen Elementen,
so bestimme man zwei positive rationale Gröfsen a und y, derart dafs
a > a v {y = 1,2...) und 1 > y > | c \, ,
wo |c| den absoluten Betrag von c bezeichnet. Dann ist der absolute
Betrag jedes Gliedes a v c v
\a v c v \ < uy v
und der absolute Betrag der Summe einer endlichen Anzahl von Glie
dern der vorgelegteu Reihe wird wieder kleiner als
a
1 — y J
d. h. auch jetzt ist die Reihe ^a v c v endlich.
v = ü, 1,2 ...
Die Anwendung dieser Betrachtungen auf die oben gebildete Reihe
JL + JL(_ n. . .
p ' p \ p / 1 p \ p / 1 'p\ p / 1 *
deren Glieder immer kleiner und kleiner werden, lehrt unmittelbar,
dafs sie eine endliche Summe besitzt. —
Das Product der Reihe und (p -f- q) ist ferner gleich n, denn
man kann entsprechend einem vorgelegteu Bestandtheile von a ein n
so bestimmen, dafs auch die Summe
(i> + 2) -2f (—f) y ~'=(P + 2) ■ f / P A
*=• ‘"ryJ
oder
•(‘-(-fr)
diesen Bestandtheil besitzt, und umgekehrt ist jeder Bestandtheil des
Productes in a enthalten.