34
Erstes Capitel.
ist, dann die gröfste Zahl a 2 der Form ß 2 a^~ l (ß 2 > a), derart dafs
a — («, -f- « 2 ) 2 > 0
wird usw.
Wenn es keine rationale Zahl
P — a \ + a 2 + * ‘ == ßi afl + ß<y + ' • • + ß/u+l
der verlangten Beschaffenheit gibt, oder — wie man sagt — keine
rationale zweite Wurzel aus a, so läfst sich das angegebene Verfahren
unbegrenzt fortsetzen und die successive gewonnenen rationalen Gröfsen
P\ ~ a \ > P2 ~ a \ “h a 2> • • • Pn — «) -f- « 2 -f" ' * " H - a n f • • •
haben die Eigenschaft, die von p geforderte Beschaffenheit immer ge
nauer und genauer zu erfüllen, indem die Differenzen
a — P\ 2 , a—p.ß, .. . a — p n 2 , ...
immer kleiner und kleiner werden. Zu einer beliebig kleinen positiven
Gröfse d kann man aber ein m so bestimmen, dafs die Differenz jedes
auf p m folgenden Gliedes p m ^ der unbegrenzt fortsetzbaren Reihe
und p m selber kleiner wird als ö.
Wir betrachten allgemeiner eine unendliche Menge rationaler
Gröfsen
und setzen fest, dafs zu jeder beliebig klein gewählten positiven (ratio
nalen) Gröfse ö nur eine endliche Anzahl (m — 1) von Gliedern der
Folge («,, a 2 , a 3 .. .) gehöre, derart dafs die übrigen Glieder paar
weise eine dem absoluten Betrage nach kleinere Differenz besitzen, als
ö anzeigt. Eine solche Reihe von Gröfsen mit der Eigenschaft
heilst eine Fundamentalreihe und speciell eine Elementar reihe, wenn
die absoluten Beträge der Gröfsen a n mit wachsendem Index n unter
jede noch so kleine positive Gröfse herabsinken.*)
Aus diesen Definitionen geht hervor, dafs die absoluten Beträge
der Glieder einer Fundamentalreihe stets kleiner bleiben als eine end
liche Gröfse und gröfser als eine von Null verschiedene Gröfse.
Eine lieihe endlich bleibender Gröfsen a v , deren absolute Betrüge
von einem bestimmten m ob niemals abnehmen, ist eine Fundamental
reihe.
Wäre nämlich die Eigenschaft
| O/n^v a n j <C d
nicht erfüllt, so müfsten die absoluten Beträge | a v | mit wachsendem
*) Yergl. Heiue’s Abhandlung in Crelle’s J. ßd. 74.