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Erstes Capitel.
d — (a^ +v) 1 und d ft — | afa-W \
gleichzeitig positiv, w. z. b. w.
Ist jetzt cc die einer Fundamentalreihe zugeordnete Gröfse und
sinken die absoluten Beträge der Gröfsenmenge
cc — a l , cc — a 2 , ... cc — a v .. .
unter jede noch so kleine positive Gröfse ö, so heilst a wieder die
Grenze der a v .
Daraus folgt, dafs a gerade die Grenze der Terme jener Reihe
(«i, « 2 , ... «„...) ist, welcher a zugehört, denn
cc — a,, a — a 2 , ... cc — a n . . .
sinken für hinlänglich gröfse n unter jeden Werth d herab. Lim cc v
existirt und ist gleich cc. — r==Q0
Bei einem Rückblick bemerken wir nun, dafs uns bei der Ein
führung der den Fundamentalreihen zugeordneten Gröfsen a ganz die
selben Aufgaben begegnen wie bei den gebrochenen und negativen
Gröfsen. In Folge neuer Aufforderungen werden neue Gröfsen definirt
und deren Eigenschaften untersucht und endlich deren Rechnungs
regeln ermittelt. Hier ist
lim a v — a
V
die besondere Rechnungsregel, wie z. B. (— 1) (— 1) = 1 eine war.
In dem vorigen Paragraphen nahmen wir die aus einer unend
lichen Menge endlicher rationaler Zahlengröfsen (unter denen keine
unendlich oft vorkommt) zusammengesetzten Gröfsen auf, setzten aber
fest, dafs sie nicht jede rationale Gröfse als Bestandtheil enthalten,
dann konnten wir diese Gröfsen mit den rationalen und untereinander
vergleichen, konnten für dieselben die Addition und Multiplication den
Forderungen gemäfs definiren, und nachdem so — wie Georg Can
to r sagt — „die neue Gröfse vermöge der ihr durch die Definitionen
gegebenen Beschaffenheit eine bestimmte Realität in unserem Geiste
erhalten“ hatte, liefs sich dieselbe als Summe unendlich vieler Gröfsen
in die Rechnung einführen, denn diese Summe war dadurch zu de
finiren, dafs man sie der neuen Gröfse gleich setzt.
Die durch die Fundamentalreihen gewonnenen Zahlengröfsen sind
keine anderen als die durch die Zusammensetzung unendlich vieler be
stimmter rationaler Gröfsen dcßnirten Gröfsen.
Da nämlich in der unendlichen Reihe
a \ -f - n 2 -f- ■ * ■ “f" a n -j- • • •
kein Element — unendlich oft Vorkommen darf, so können die abso-
m v ’
luten Beträge der Terme a n nicht beständig wachsen, sondern sie
müssen von einem bestimmten ab beständig abnehmen. Es gibt also
