Die Elemente der Arithmetik.
43
_ £ (2) =
11 12
7t G
4 - 4 =
S W =
c 12
7C Q
4 =
£ (2) =
C 11
711
(2) r
4 — 7t r
dann folgt:
• e x e x — (tcg Tt' r) e x -\- 7tre 2
e 2 = 6 2 e x = 7t q C| -j- je te 2
e 2 e 2 — 7t’ Qß\ -f- ipQ — Jt'ö)e 2
und hier kann man 7t, n, 6, q, t irgend welche Werthe beilegen,
nur dürfen % und 7t’ nicht gleichzeitig Null sein, sonst wären alle
Gröfsen und die Producte und ah Null.
Wenn man aber x ein Werthesystem fixirt, dann ist auch das Pro
duct ah unzweideutig definirt, d. h. es ist ein Multiplicationsverfahren
festgesetzt und zwar so, dafs die Multiplicationsgesetze
ah = ha, (ah)c — {ac)h, {a -f- h) c — ac -f- hc
gelten.
Soll endlich noch a durch h dividirt werden, so hat man eine
Gröfse
dadurch zu bilden, dafs man y X} y 2 ,.,. y n aus der Gleichung ch — a
oder den n äquivalenten Gleichungen:
V\ ßh + y 2 £ h 2 ßft + • * * + yn2* ßn ß, — a i (A == 1,2 . . . n)
h h fl
bestimmt, in denen die Gröfsen sft, nur mit den früheren Bedingungs
gleichungen verträgliche Werthe annehmen.
Die Behandlung eines Systems linearer Gleichungen setzen wir
hier als bekannt voraus, da die Lösung solcher Gleichungen, d. h. die
Bestimmung der zu suchenden Gröfsen y x , y 2 ... y n ohne weitere De
finitionen ausführbar ist. —
Hat die Determinante z/ des Gleichungssystems einen von Null
verschiedenen Werth, so lassen sich die Gröfsen y v eindeutig bestim
men, und die Division ist möglich.
Ist hingegen z/ = 0, so ist die Division nur ausführbar, wenn
die n Gleichungen derart Zusammenhängen, dafs sie auf (n — 1) zu-
rückkomraen, d. h. wenn zwischen den Gröfsen a x , a 2 , ., . a n eine be
stimmte Beziehung besteht. Doch dann gibt es unendlich viele Werthe
für die Gröfsen y v und der Quotient ~ hat unendlich viele Werthe.
Um diesen Fall auszusehliefsen, müssen wir festsetzen, dafs die
Determinante z/ nicht für beliebige Werthe von ß x , ß 2 , ... ß n (oder
identisch) verschwindet. Doch wenn selbst die Gröfsen s^l solche