Die Elemente der Arithmetik. 
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der zweite Factor von z/ nur dann für jedes Werthepaar (ß t , ß 2 ) Null 
sein, wenn t, 6 und q gleichzeitig Null gesetzt werden, und dann ist 
ja auch <3' — 0. Immerhin kann man aber ß t und ß 2 noch so 
wählen, dafs 
tßS-aßtß, - Q ß* 
und somit *z/ Null wird. Dazu hat man nur den Quotienten — ent- 
P 2 
sprechend der Gleichung 
zu bestimmen. Eine solche Gleichung läfst aber für —■ keine Lösungen 
P2 
in Zahlengröfsen aus einer Haupteinheit zu, sobald -f- qx nega 
tiv ist. Setzen wir demnach fest, dafs 6, q, r gerade die Bedingung 
- (G) 2 + Q % ) > 0 
erfülle, womit bestimmt wird, dafs weder q noch r verschwindet und 
die eine dieser Gröfsen positiv ist, wenn die andere negativ ist, und 
endlich 8 nicht verschwindet, so bleibt als einziges Werthepaar, für 
welches die Determinante z/ Null wird, ß t — ß 2 = 0 übrig. 
Entsprechend den nach diesen Bedingungen noch möglichen 
Werthesystemen für die Gröfsen it, q, tf, t erhält man zu jedem 
einmal hxirten System eine bestimmte Definition von ah und so 
dafs die Multiplicationsgesetze, ferner das Gesetz • h — a gilt und 
endlich auch der Satz besteht: ein Product ist nur dann Null, wenn 
einer der Factoren verschwindet. 
Es handelt sich nunmehr darum, durch besondere Wahl der noch 
willkürlichen Gröfsen ein möglichst einfaches Multiplications- und Di 
visionsverfahren complexer Gröfsen kennen zu lernen. Zu diesem 
Zwecke führen wir als eine Haupteinheit diejenige Gröfse g 0 ein, welche 
die Eigenschaft hat, dafs für jeden Werth von h 
= b 9o = h 
ist. Es gibt eine solche Gröfse g 0 , denn ist h eine Gröfse derart, dafs 
z/ ^ 0 ist, so wird ~ eine Gröfse g {) , mit der multiplicirt jede an 
dere Gröfse unverändert bleibt. Sie hat aber auch für jeden Werth 
von h denselben Werth, denn und ~ sind gleich, weil diese 
Gröfsen mit h multiplicirt h unverändert lassen. 
Ist ferner 
V = %l ß l + %2 ß 2 
irgend eine andere Gröfse, für die z/ auch nicht verschwindet, und 
sind I;, und £ 2 so gewählt, dafs man aus den Gleichungen