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Erstes Capitel.
heiten zusammengesetzt sind, unseren Forderungen entsprechend con-
struireu kann. Diese Frage ist entschieden zu verneinen, wenn man
die Theiler der Null aufser der Null selbst nicht zuläfst, indem die
aus einer Haupteinheit gebildeten Gröfsen nicht derart zu be
schränken sind, dais die nicht identisch verschwindende Determinante
z/ nur für das Werthesystem
ßl = ß-2 = • • * = ßn = 0 (n > 2)
den Werth Null annimmt.
Von dem Nachweis dieser Behauptung müssen wir hier absehen,
da uns die nöthigen Hilfsmittel fehlen, und ebensowenig können wir
an dieser Stelle auf die Untersuchungen des Herrn Weierstrafs ein-
gehen, die zu dem Resultate führen, dafs selbst die Gesammtheit der
aus n Haupteinheiten zusammengesetzten Grölsen nicht mehr bietet
als das oben definirte Gebiet von Gröfsen mit den Haupteinheiteu e,
und e 2 oder g 0 und g oder 1 und i, wenn man darin die Theiler der
Null in naturgemäfser Verallgemeinerung des Falles, dafs für n — 1
und n — 2 Null ein Theiler der Null ist, zuläfst, indem nämlich statt
der ursprünglichen n Haupteinheiten (e t , e 2 , ... e n ) n andere (e,' ; e 2 ',
... eú) eingeführt werden können derart, dafs das Gebiet von Gröfsen
%i e \ -f“ ^2 e 2 -f" • * * -f“ %nGn
in Theilgebiete mit einer oder zwei Einheiten zerfällt, in denen das
Multiplications- und Divisionsverfahren nach denjenigen Regeln ge
staltet ist, welche für die Gröfsen a respective a, -f- a 2 i aufgestellt
wurden, wonach es dann „überflüssig" erscheint, eine Arithmetik com
plexer Gröfsen mit mehr als zwei Haupteinheiten zu begründen.
Damit ist der Aufbau des Systems von Zahlengröfsen beendet,
welche wir in der Rechnung benützen werden. Ob unsere Gröfsen aber
ausreichen werden, d. h. ob jeder durch die Elementaroperationen de
finirte Zusammenhang zwischen gegebenen Gröfsen unserer Art und
zu suchenden Gröfsen durch Gröfsen aus unserem Gebiete zu lösen
sein wird, mufs die fernere Untersuchung lehren. Wir können nicht
wissen, ob gewisse Aufgaben nicht Gröfsen erfordern werden, die auf
anderer Basis als auf Grund der Permanenz der arithmetischen Gesetze
aufgebaut sind, denn es ist z. B. erlaubt, Gröfsen einzuführen, welche
nicht allen Rechnungsgesetzen ganzer Zahlen gehorchen (wie die Qua-
ternionen) und andererseits besteht noch die Möglichkeit, dafs es neben
der Addition, Multiplication, Subtraction und Division weitere Eie-
mentaroperationen gibt. Man kann nicht beweisen, dafs es keine
anderen mehr gibt, und darum sind die Untersuchungen über die
Zahlengröfsen nur insoweit abgeschlossen, als sie auf die nun genug
sam hervorgehobenen Anforderungen gegründet sind.
