51
iengröfsen
!ii Zahlen
senkrecht
iegt jeder
finer oder
durch die
itiven Zei-
oder links
r horizon-
xen liegt,
^.xen oder
2 der von
»der wenn
en Lothes
) augeben
;h die Or-
echts von
falle. Die
ober- oder
irch seine
Paar von
die Ordi-
jt. Wenn
e Zahleu-
als Ordi-
' cii -{- a 2 i
inch eine
rizontaleu,
d die den
ie in der
der „Axe
Punkte,
gehörigen
m Punkte
r en Werth
2 und « 2 2
Die Elemente der Arithmetik.
]/cc x 2 -f- cc 0 2
den absoluten Betrag von a und bezeichnet diesen wie früher mit
j a | oder | cc t -{- a 2 i |.
Diese Definition des absoluten Betrages stimmt mit der früheren über
ein, wenn cc 2 = 0 und a eine reelle Gröfse wird.
Die Betrachtung der gegenseitigen Lage der den Gröfsen •
0, a, 1), a -f- h
zugehörigen Punkte
0, A, B, C
lehrt, dafs die Entfernungen
OA, OB, AG, OC
durch die Gröfsen
\a\, |&| , |6|, |« -f- 6|
gemessen werden, und weil eine Seite eines Dreiecks nicht gröfser
sein kann als die Summe und nicht kleiner ist als die Differenz der
beiden andern, so folgen die Ungleichungen
! i«i—
Da ferner der absolute Betrag der Differenz zweier Gröfsen a und
b durch die Entfernung der Träger derselben repräsentirt ist — wor-
nach die der Bedingung \x — a\~r genügenden Zahlengröfsen x in
den Punkten eines Kreises um a mit dem Radius r ihre Träger be
sitzen — ist die Entfernung der Punkte A und B durch \a — b| ge
messen und auf Grund des oben genannten Satzes entstehen die Un
gleichungen :
H + H|-
Wir beweisen die in den aufgestellten Ungleichungen ausgesprochenen
Sätze in zweiter Linie durch Vergleich der absoluten Beträge von
a-\-b\ und \a — b\ mit den Gröfsen |a|-f j&| und \a\ — \b\, weil wir
die bei dem Beweise verwendeten geometrischen Beziehungen gewifs
durch arithmetische Relationen ersetzen können und auch ersetzen
müssen, wenn wir den Beweis als arithmetisch bindend erkennen wollen.
Es sei
® = & = 01+02*1
dann ist
| a -{- b |. | a -f- b j
und
a b — + ßi + ¿(«2 + 02))
- \a + J|« = («, + ß t )* -|-*(a 2 + ßj*
= K l 2 +/ 3 l 2 + «2 2 +ft 2 + 2 ( K l/ 3 l+ “jfe)
[l«l + IM] 2 = < + 0, 2 + + /V + 2 V«, 2 + « 2 2 • Vßy + ßy.
Da aber
(«102 ~ « 2 0l) 2 ^O
4
