Die Elemente der Arithmetik. 
53 
§ 10. Summen unendlich vieler complexer Gröfsen. 
Die Summen unendlich vieler rationaler Zahlengröfsen sind bereits 
untersucht, es bleibt uns noch übrig, die Summen unendlich vieler 
complexer Zahlengröfsen 
a v = a' -f- (¿yi (v — 1,2,3...) 
zu betrachten. 
Wir wissen bereits, was man unter einer solchen Summe zu ver 
stehen und wann sie eine Bedeutung für uns hat, denn die früheren 
Definitionen sagen ja aus, dafs die Summe diejenige Gröfse ist, deren 
reeller und imaginärer Theil 
0/ + < + < + •••) res P- Oi" + « 2 " + <' H ) i 
ist und es müssen die Summen 
a v und 2< 
V V 
für sich endlich sein, damit endlich ist. — Gibt es unter den 
V 
Gröfsen a' positive und negative (ß' und y') } ebenso unter den Gröfsen 
a" entgegengesetzt bezeichnete ß" und y", so müssen die Summen 
2k. 2k . -2*-’ -2* 
lauter endliche positive Gröfsen sein. 
Hier handelt es sich darum, neue Kriterien für das Endlichsein 
einer Summe unendlich vieler complexer Gröfsen aufzustelleu. Wir 
setzen voraus, dais die Summen 
2\*’\ = 2k+2(-k) 
V V V 
2w\ - 2k+2(-m 
V V V 
endlich sind, daun ist 
WA + Kl ^ V a ? + a 'v 2 = |«r| 
und man sieht, dafs die Summe der absoluten Beträge einer unend 
lichen Reihe 
a \ + a 2 4“ a s "i" * ’ * 
nothweudig endlich sein mufs, wenn die Reihe eine endliche Summe 
haben soll. 
Hat umgekehrt die Reihe ^?\a v \ eine endliche Summe, so sind 
V 
wegen der Ungleichungen 
| a v \ = ]/ a' v 2 + a" 2 > \a r v |