Die Elemente der Arithmetik.
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®//i-rl -f- «w+2 -f-
wt-fyt
-f - ==
für jedes g Meiner wird dis d, sobald nur m > n ist.
Da diese Behauptung für die Reihe der absoluten Beträge
1 a \ I -f" I a 2 I 4“ ’ ' ’ ~h I a r I "j“ ' • •
zutriift und die Summe von absoluten Beträgen \a v \ nicht kleiner ist
als der absolute Betrag der Summe der Gröfsen a v , so ist das Theo
rem richtig,
n
Die Summen S n = a v convergiren nach der endlichen Gröfse
VZ=. 1
S, denn es ist
| S — S n | < d {n^>m)
und darum sagt man: die unendliche Reihe ^da v convergirt.
V
Wie die ßechnungsoperationen mit Reihen complexer Gröfsen
ausgeführt werden, bedarf keiner Erläuterung mehr.
Die in Rede stehenden Reihen, in welchen die Reihen der posi
tiven und negativen Glieder '/^ l d v und für sich endliche Sum
men haben, nennt man unbedingt convergent, womit angezeigt sein
soll, dafs die Convergenz nach S unabhängig von der Anordnung der
Terme a v eintritt. Nun sprechen wir den ersten der obigen Sätze
folgendermafsen aus:
Convergirt eine Reihe unendlich vieler complexer Gröfsen un
bedingt, so convergirt auch die Reihe der absoluten Beträge der
Gröfsen, und umgekehrt mufs eine Reihe unbedingt convergent
sein, wenn die Reihe der absoluten Beträge — oder wie man
sagt — wenn die Reihe absolut convergirt.
Reihen, deren Summe S von der Anordnung ihrer Glieder abhängig
ist, heifsen bedingt convergent, und Reihen, deren Summe bei jeder
Anordnung der Terme unendlich sind, divergent. Die bedingt conver-
genten Reihen nehmerf wir nicht in die Rechnung auf, da ihnen der
Charakter von Summen abgeht.
§ 11. Producte unendlich vieler Paetoren. *)
In diesem Capitel haben wir noch das Product unendlich vieler
Zahlengröfsen c v zu definiren. Den früheren Betrachtungen gemäfs
mufs die Definition derart gewählt werden, dafs das unendliche Pro
duct den Fall eines endlichen Productes c, c.,... c n umfafst und für
*) Siehe Weierstrafs in Crelle’s Journal Bd. 51, Pincherle 1. c. und
Mittag-Leffler in Acta mathematica Bd. 4.