Die Elemente der Arithmetik.
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Factoren endlich sein und das ist ja oben verlangt worden, so mufs
die unendliche Reihe
9o + 9i + 4 h 9v H
unbedingt convergireu 5 dann aber convergirt diese Reihe nothweudig
absolut.
Bezeichnet man den absoluten Betrag von a v hier mit cc v und setzt
= CC V -j— CC V -j— "j~ ®v "j“ Kv “f" ' * • -j— iTj (Xy • • • 0C V f
so wird y v > \g r \, und setzt man voraus, dafs die Reihe positiver
Greisen
1 + Yi + r 2 H f" Vv + * • •
convergirt, so convergirt die Reihe der g v absolut. Damit aber von
einer endlichen Summe der Reihe 1 -f- y x -j- Vi + • • • die Rede sein
kann, mufs nothwendig die Reihe der absoluten Beträge der Gröfsen
a v endlich sein, enthält ja doch y v die Gröfse |a v \ — a v , und diese
Bedingung ist offenbar auch für die unbedingte Convergenz der Reihe
der g nothwendig.
Wir nehmen also an, dafs die Reihe
C l "f ß 2 "I F “f j (Ä.)
eine endliche Summe S besitze, und setzen fest, dafs S kleiner sei als
Eins. Andernfalls kann man durch Absonderung einer blos endlichen
Anzahl von Gliedern cc M eine Reihe bilden, in welcher diese Forderung
erfüllt ist, und in dem von der Anordnung der Factoren unabhängigen
unendlichen Producte kann man die den Gliedern cc^ entsprechenden
Factoren (1 -j- a^) abtrennen, deren Product für sich endlich ist. Es
bleibt dann ein unendliches Product zur Untersuchung übrig, dessen
zugeordnete Reihe (A) eine endliche Summe S < 1 besitzt. Die posi
tiven Gröfsen cc v sind jetzt kleiner als Eins, folglich wird
1 -j - CCv <C
1 —
und
(1 _f_ «,) (1 + « 2 ) • • • (1 + «») < (T-ä 1 j(l-« 2 )...(l-« n ) *
Doch weil auch
(1 — aj (1 — a 2 ) • • • (1 — «„) > 1 — («i -f- « 2 + • • • -f a„),
wird das Product
(1 -f «,) (1 + « 2 ) * • • (1 + «») < i _ + ... + ¿j
und umsomehr
(1 + ß i) (1 + « 2 ) * • * (^ + a ") < i _ s '
CO
endliche Reihe
endlich, wenn die un-