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Erstes Capitel.
dem auch das beständig abnehmende Product 17a — a v ) convergent
ohne Null zu werden, denn es ist
P JTd Kv ^ '' > ^ — i. a m+l 4“ «m+2 a m-\-n)
v—m+ 1
und wenn m so grofs gewählt ist, dafs die Summe in den Klammern
kleiner ist als d, wird
Pm+n > Pm( 1 - S).
Zeigt mau umgekehrt in einem besonderen Falle zunächst die Conver-
genz der Producte P„ nach einer von Null verschiedenen Gröfse, so
folgt, dafs die Reihe der « t , a 2 , .,. eine endliche Summe besitzt. Die
Couvergenz von m — a v ) zieht nämlich diejenige von 77> + «,)
nach sich, indem
!-*<(! — ^■w+l) (1 &m-f-2) ’ ' ‘ (1
(1 — <Xm+l) (1 .— «« + *) ••■(!— O-m+n) <L 1
und somit
1^(1 + «m + l) (1 + «•/« + 2) * * * (1 + a m + fi) ^ g
wird, wo die rechte Seite bei hinlänglich grofsen m und beliebig
kleinen d von 1 um beliebig wenig abweicht. Z. B. das Product
170-7)
v=2
ist convergent, denn die Producte
1.2 2.4 (n+1) _ 1.2. ,.(n—1) 3.4.. .(»-fl)
2.2 3.3 n.n 1.2 ...n 2.3 ...n
n -f! _ 1 1
2 n 2 ' 2 n
convergiren mit wachsendem n nach und darum ist auch die Summe
der unendlichen Reihe
JL _j 1 l . . . _l _1 i_ . . .
— + — 4 f- — H (m > 2)
2 m 3 W r n m V '
Bei der Auswerthung eines absolut convergenten Productes kann
man die Factoren beliebig in Gruppen zusammenfassen, und anderer
seits läfst sich das Product 17a + a v ) in ein convergentes unend
liches Product verwandeln, dessen Factoren selbst unendliche Pro
ducte sind.
Es sei etwa
und umsomehr
endlich.