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Zweites Capitel. I, Abschnitt.
Eine solche Variable x hat folgende Eigenschaft:
Ist x Q ein bestimmter endlicher Werth nnd r eine gegebene posi
tive (reelle) Gröfse, so gehört die Gesaramtheit von Zahlengröfsen x,
für welche der absolute Betrag | x — # 0 | kleiner ist als r, ebenfalls zu
den Werthen der Variabein.
Wird eine Variable als eine Gröfse x definirt, welche alle Werthe
annimmt, für die \x — x 0 \ kleiner ist als eine beliebig kleine posi
tive Gröfse d, — wo x 0 einen ersten Werth bezeichnet — so nennt
mau sie stetig veränderlich. Die unbeschränkt variable Gröfse ist also
stetig veränderlich.
Die Gesammtheit der Werthe x, welche die Bedingung
I X — x 0 1 < r
erfüllen, bezeichnet man als Umgebung von x 0 . Der Ursprung dieser
Bezeichnung ist durch die geometrische Repräsentation der Variabeln-
werthe erklärt. Die Träger dieser Werthe sind die Punkte der Zahlen
ebene, der Träger des Werthes x 0 ist ein bestimmter Funkt oder eine
Stelle, und die ,der genannten Bedingung unterworfenen x Werthe
liegen innerhalb des um die Stelle x 0 mit dem Radius x beschriebenen
Kreises. Nach der Gröfse r heifst die Umgebung von # 0 diejenige mit
dem Radius r, oder die Umgebung r der Stelle a? 0 .
Es seien n von einander unabhängige unbeschränkt veränderliche
Gröfseu x x , x 2 . . . x n vorgelegt.
Ein specielles Werthesystem («,, a 2 . . . a n ) oder, wie wir kürzer
anzeigen wollen, ein Werthesystem (a) heifse eine Stelle oder ein
Punkt aus der Gesammtheit der Werthesysteme (x).
Die Gesammtheit derjenigen Werthesysteme {x), welche die Be
dingungen
\ x \ — | < ä, | x 2 — a 2 1 < d, . . . | x n — a n | < ö
erfüllen, heifse die Umgebung d der Stelle (a); allgemeiner definirt
man durch die Gesammtheit der den verschiedenen Bedingungen
| u x ( <C d j, j x 2 a 2 1 $2 • • • 1 ß» | d n
genügenden Werthesysteme die Umgebung (d,, $ 2 . . , d n ) oder (d) der
Stelle (a).
Sind die Variabein wiederum so definirt, dafs die Gesammtheit
der den Ungleichungen \x v — a v | < d v {v — 1, 2 ... n) mit beliebig
kleinen Gröfsen d v genügenden Werthesystemeu auch den Variabel-
werthen angehören, so heifsen sie stetig veränderlich.
Wir sagen: Die Gesammtheit der reellen Werthe, welche eine un
beschränkte Variable annehraen kann, constituirt eine einfach unend
liche Mannichfaltigkeit oder eine Maunichfaltigkeit einer Dimension.
Die Gesammtheit der reellen Werthesysteme, die n von einander
unabhängige, unbeschränkt veränderliche Gröfsen x x , x 2 . . . x n an-