Veränderliche Gröfsen, Gröfsenmengeu.
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ene posi-
iröfsen x,
mfalls zu
nehmen können, bildet eine wfach unendliche Mannichfaltigkeit oder
eine Mannichfaltigkeit n yer Dimension.
Die Gesammtheit der n unbeschränkt veränderlichen Gröfsen
x v = -f- irj v (v — 1, 2 . . . n) ,
e Werthe
wo £„ und r\ v reelle Werthe bedeuten oder unbeschränkt reelle Yariabeln
sine posi-
so nennt
3 ist also
sind, constituirt eine Mannichfaltigkeit von 2n Dimensionen und ein
specieiles Werthesystem (a v ) ist eine Stelle oder ein Punkt dieser
Mannichfaltigkeit. —
Wir denken nun in der zweifach unendlichen Mannichfaltigkeit
eine unendliche Menge (A) von einander verschiedener endlicher Punkte
gegeben, die durch eine bestimmte Regel oder eine gemeinsame Defi
ag dieser
ariabeln-
r Zahlen-
)der eine
: Werthe
iriebenen
mige mit
nition charakterisirt seien, wie z. B. dadurch, dafs in x — £ -J- ir] die
Coordinaten £ und rj rationale Zahlengröfsen sein sollen. •
Hierauf definiren wir: eine (wenn auch noch so kleine) Umgehung
r einer Stelle x 0 der Gesammtheit von Wertheu x gehört der Punkt
menge (M) an, wenn nebst x 0 jede Stelle dieser Umgebung ein Punkt
der Menge ist.
Gibt es keinen Punkt x () unter den gegebenen, dem eine der
Menge (A) angehörige Umgebung zuzuordnen ist, so heifst die Punkt
nderliche
menge discret.
Angenommen, dafs eine solche Stelle x 0 existirt, so kann man
ir kürzer
oder ein
eine der Bedingung \x — x 0 \ < r genügende Stelle x t herausnehmeu,
für die sich offenbar wieder eine der Menge (A) angehörige Umgebung
r x finden läfst. Fährt man so fort, sucht stets die Umgebung r v einer
die Be-
Stelle x v , die der der Menge (M) angehörigen Umgebung r v _i von
x v -i entnommen ist, so constituirt die Gesammtheit von Punkten, zu
denen man auf diese Weise gelangen kann, in der zweifach unend
• defmirt
lichen Mannichfaltigkeit von x Werthen oder in der x-Ebene, wo die
Variable gedeutet wird, eine Menge (A x ) von Stellen, die wir einen
gen
Pereich nennen. Durch die beschriebene Vermittlung einer endlichen
r (d) der
Anzahl von Stellen kann man von jeder Stelle x () des Bereiches (Mj)
zu jeder anderen x gelangen, ja noch mehr, man kann sogar eine
endliche Anzahl von Stellen x v aus (M) zwischen x 0 und x' so ein
imratheit
beliebig
Variabel- i
schalten, dafs die Entfernungen
\ X x X 0 , ä/ 2 Xq \ .... \ X X n (
kleiner bleiben als eine beliebig kleine Gröfse d, und die Umgebungen
eine un-
h unend-
der Stellen x 0 , x x , x 2 , . . x„ mit dem Halbmesser d der Punktmenge
{A) angehören.
mension.
einander
Man sagt, die Stellen x x , x 2 . . . x n vermitteln einen zusammen
hängenden Übergang oder einen continuirlichen Weg von x 0 nach x'.
• OCji äll"
Ein Bereich (Mj), zwischen dessen Stellen contiuuirliche Wege zu
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