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Zweites Capitel. I. Abschnitt. 
legen sind, heilst ein aus einem zweifach ausgedehnten Stücke be 
stehendes, zusammenhängendes Continuum, oder Continuum kurzweg.*) 
Ist x' eine Stelle aus (A), der man eine dem Continuum (M t ) un 
gehörige Umgebung zuordnen kann, so liegt x' innerhalb (j.,) und 
(J.,) enthält x'. 
Gibt es unter den Stellen einer noch so kleinen Umgebung von 
x' solche, die (MJ angehören und andere, die (M,) nicht angehören, 
so liegt x auf der Begrenzung des Bereiches 
Eine Stelle x" liegt endlich aufserhalb (>4,), wenn man ihr eine 
wenn auch noch so kleine Umgebung zuordnen kann, welche keine 
dem Bereiche (M,) ungehörige Stellen umfafst. Die dem Continuum 
(Af) ungehörigen Umgebungen einer Stelle, die innerhalb {Af) liegen, 
können bis an eine Stelle der Begrenzung hinanreichen, aber niemals 
eine solche Stelle enthalten.**) 
Das Continuum (Mj) ist durch einzelne Stellen, durch eine oder 
mehrere Linien oder durch Punkte und Linien begrenzt. 
Die Linie ist (hier etwas umständlich) als die Gesammtheit einer 
unendlichen Punktmenge {B) der Beschaffenheit aufzufassen, dafs in 
jeder (selbst beliebig kleinen) Umgebung jeder Stelle von, {B) unendlich 
viele andere Stellen dieser Menge, und noch Stellen (x") und (x r ) 
liegen, die sich aufserhalb resp. innerhalb des Continuums {Af) be 
finden. 
Die eine Linie definirende Punktmenge bildet kein zweifach aus 
gedehntes Continuum mehr, aber nothweudig lassen sich wieder zwischen 
irgend zwei Stellen £ 0 und £ 0 ' von (B) nach Annahme einer beliebig 
kleinen Gröfse s eine endliche Anzahl neuer Stellen £,, | 2 . . . £ r , 
welche der Menge (.B) angehören, den Bedingungen 
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gemäfs einschalten. Darum heifst die Punktmenge (B) zusammen 
hängend und andererseits einfach unendlich oder einfach ausgedehnt, 
weil sie in der zweidimensionalen Mannichfaltigkeit kein Continuum 
bildet. 
Es ist möglich, dafs unter den Stellen der ursprünglich gegebenen 
Punktmenge (A) solche existiren, die zwar aufserhalb (Af) liegen, 
denen aber eine der Menge (M) angehörige Umgebung zuzuordnen ist. 
Daun gibt es mindestens ein zweites Continuum (J. 2 ), dessen Begren 
zung theilweise mit der des ersten Continuums Zusammenfällen kann. 
So kann man nach und nach alle Continua aus (A) herausnehmen. 
Die Gesammtheit der Werthe einer stetig veränderlichen Gröfse 
x constituirt gewifs ein Continuum. Indem sich die früheren ßetrach- 
*) Weierstrafs, Abhandl. aus der Functionenlehre S. 71. 
**) Mittag-Leifler, Acta math. Bd. 4.