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Zweites Capitel. I. Abschnitt.
(x) derart nach a oder {a) rückt, dafs die Differenzen x — a oder
{x v — a v ) unendlich klein werden.
Die Summe oder das Product y einer endlichen Anzahl stetig ver
änderlicher Grölen wird mit den Summanden respective mit einem
Factor unendlich klein, sofern in dem Producte keiner der übrigen
Factoren eine noch angebbare Gröfse überschreitet. Der Quotient y
zweier stetig veränderlicher Gröfsen wird gewifs mit dem Dividend un
endlich klein, wenn nur der Divisor nicht auch unendlich klein wird.
Eine veränderliche Gröfse wird unendlich grofs genanut, wenn ihr
absoluter Betrag gröfser werden kann als jede angebbare positive
Gröfse. Wie die Null als Grenze unendlich klein werdender Gröfsen
aufzufassen ist, betrachtet man die Grenze der unendlich werdenden
Gröfsen als eine bestimmte Gröfse: Unendlich, und spricht von ihr als
dem Werthe des Ausdruckes — , wenn x — 0 gesetzt wird; diesem
Werthe oder dieser Gröfse (oo) kommt der Name Unendlichkeitspunkt
zu, herrührend von der geometrischen Repräsentation, bei der man
nur einen unendlich fernen Punkt hat, sobald die Ebene als Kugel
von unendlich grofsem Radius aufgefafst wird. Die Gesammtheit der
(absolut genommen gröfsen) Werthe von x, für welche -i- < r, heifst
die Umgebung r der Stelle oo. Darnach legt man also dem Ausdruck
— die Bedeutung
oo die Bedeutung von — , und dem Ausdruck
von — bei.
a
Sollte die oben benützte Punkt- oder Werthemenge (A) der zwei
fach unendlichen Manuichfaltigkeit Gröfsen enthalten, deren absoluter
Betrag gröfser ist als eine angebbare Grösse und gehört jede einer
Bedingung < r genügende Stelle der Menge (Ä) au, so enthält
(M) die Umgebung des unendlich fernen Punktes und ein Continuum
erstrecht sich in das Unendliche.
§ 14. Häufungsstelle linearer Punktmengen.
Wir müssen die unendlichen Punktmengen noch näher studireu.
Wir denken vor Allem in dem Bereich der unbeschränkt reellen Va
riabein x', der durch die Gesammtheit der reellen Werthe unserer
Variabelu x constituirt ist, eine aus einer einheitlichen Definition
fliefsende Menge voneinander verschiedener Werthe gegeben. Dann
besteht für jede solch lineare unendliche Punktmenge der wichtige Satz*):
In dem Bereich der reellen Variabein gibt es mindestens eine
*) Siehe Pincherle 1. c.