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Zweites Capitel. I. Abschnitt.
Abgeleitete von P heilst. — PW braucht nicht alle Stellen von Pb) zu
enthalten, aber jede Stelle von P< 2 ) gehört jetzt Pb) an, denn in jeder
Umgebung einer Stelle von P< 2 ) gibt es unendlich viele Stellen von
Pb) und in jeder Umgebung dieser Stellen unendlich viele Punkte
der Menge P. Der Ableitungsprozeis fördert also aus P höchstens
einmal neue Stellen.
In der Bildung abgeleiteter Punktmengen kann man weiter gehen
und die v ie Ableitung von P, d. i. die erste Ableitung von Pb- 1 ) auf
suchen-, stets wird PW in Pb'— 1 ), in Pb 1 - 2 ) usw., endlich in Pb) ent-
halten sein. Kommt man bei dieser Succession zu einem Ende, indem
eine abgeleitete Menge PW nur aus einer endlichen Anzahl von Stellen
zusammengesetzt- ist und PbH-*) für jedes v keine Stellen enthält, so
heifst die Punktmenge von der w ten Ordnung. Man zeigt dies durch
die Schreibweise an:
p(n+D == 0.
Beispiele: 1) Die erste abgeleitete Punktmenge der gegebenen
Menge y , * , "'~i ■ • besteht aus der Stelle Null und es
ist P (2 ) = 0 .
2) Die erste Abgeleitete der Punktmenge, welche durch die inner
halb des Bereiches von 0 bis 1 befindlichen rationalen Zahlengröfsen
definirt ist, besteht aus allen Punkten des Intervalles einschliefslich
der durch die Stellen 0 und 1 gebildeten Grenzen und jede folgende
abgeleitete Menge enthält dieselben Stellen,
3) Eine irrationale Zahlengröfse n [er Ordnung war durch eine aus
Zahlengröfsen (n — l.) ter Ordnung gebildete Fuudamentalreihe definirt,
die irrationale Zahlengröfse erster Ordnung durch eine aus rationalen
Gröfsen zusammengesetzte Fundamentalreihe. Sucht man die den ra
tionalen Gröfsen entsprechende Punktmenge, welche eine irrationale
Zahlengröfse w ter Ordnuug definirt, so ist dieselbe durch die Identität
pM-i) = 0 charakterisirt.
Bezeichnet man das System der zweien Punktmengen P, und P 2
gemeinsamen Stellen mit P) [P i , P 2 ) und nennt diese Menge den ge
meinsamen Theiler von P, und P 2 , so erhält der früher ausgesprochene
Hauptsatz einer Menge Q isolirter Stellen die Form:
D{Q, QW) = 0,
und die Beziehung auf einander folgender abgeleiteter Punktmengen
ist in der Formel enthalten:
D(PM, P(H-i)) = pb-H) .
Bezeichnet man die durch Vereinigung zweier Punktmengen P t
und P 2 ohne gemeinsamen Theiler entstehende Punktmenge P mit
P, -f~ P 2 , so ist die frühere Punktmenge P mit der ersten Abgeleiteten