Veränderliche Gröfsen, Gr öfsen mengen.
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Existirt in dem Bereiche der Variabein x ein solches Gebiet (A),
dafs nach Annahme einer beliebig kleinen Gröfse d für jede Stelle x {)
innerhalb (A) eine Umgebung r n anzugeben ist, die nur Stellen x'
umfafst, deren zugehörige Werthe y' die Bedingung
W - ?/ol = I /■(»') — /’W! < s
erfüllen, so heilst y eine in dem Gebiete (A) von x abhängige, stetig
veränderliche Gröfse.
Ebenso heilst eine von n Variabein x,, x 2 ,... x n abhängige Gröfse
y in einem continuirlichen Bereiche (A) stetig veränderlich, wenn nach
Annahme einer beliebig kleinen positiven Gröfse d für jede Stelle (.r (0) )
innerhalb (A) eine solche Umgebung angegeben werden kann, dafs für
alle Stellen (a ,(1) ) dieser Umgebung der absolute Betrag
1 ffav, x 2 M. . . xA l) ) - /w 0) , . . .X H W)\ < d
wird.
Ist nun y eine für jeden Werth x eines Intervalles (A) der (wieder
reellen) Variabein stetig veränderliche, endliche Gröfse, die für alle
Werthe einschliefslich der Grenzstellen des Bereiches
(x — a, x = h = a -{- d)
dehnirt ist, so erreicht y für einen bestimmten Werth X die obere
Grenze G.
Theilt man das Intervall in der früheren Weise ab, und nennt
die Endpunkte der aufeinanderfolgenden Intervalle
, h x • a 2 , h 2 : .... a v , h v ; ....
so kommt man entweder auf eine Stelle, bei welcher der Werth von
y gleich G ist, und dann ist die Behauptung erwiesen, oder der Thei-
lungsprocefs ist unbegrenzt fortsetzbar. Dann defiuiren die Grenz
stellen der Punktmengen:
0\, . . . a v , ...
b\ t ... h v} ...
eine Stelle X und für diese ist f{X) = G. Wäre nämlich f\X) um
eine endliche Gröfse 1: von G verschieden, also
f\X) = G-U,
so könnte y an der Stelle X nicht stetig sein.*)
In der That kann man für die stetig veränderliche Gröfse y nach
Annahme einer beliebig kleinen Gröfse d eine Umgebung der Stelle X
so ausfindig machen, dafs für jede Stelle dieser Umgebung
(x' = X — £, x' = X |)
\f{x')-f{X)\ <d
wird, ln das Intervall von X — £ bis X + £ fällt aber ein Intervall
*) Vergleiche Serret 1. c,
Biermann, Fuuotionentheorie.
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