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Zweites Capitel. I. Abschnitt. 
von a v bis b v und zu diesem gehören y Werthe, die von G beliebig 
wenig abweichen. Setzt man also 
f(x') = G — £, 
wo 8 beliebig klein ist, so mufs auch 
\G — e — f\X) 1 = \G - s - {G — ¿)| = \h - s\ < d 
sein, und das ist unmöglich, wenn ö und s beliebig klein sind. Mau 
mufs h — 0 setzen und damit folgt 
f{X) - G, 
d. h. die innerhalb eines Intervalles von x = a bis x — b einschliefs- 
lich dieser Grenzen stetige und endliche Gröfse y erreicht die obere 
Grenze, sie hat ein Maximum und ebenso ein Minimum. 
Besitzt ferner y an den innerhalb des Intervalles liegenden Stellen 
x { und x 2 die bestimmten (endlichen) Werthe f{xf) und f{x 2 ) } so kann 
man in gleicher Weise zeigen, dafs y für die innerhalb des Theilbe- 
reiches von x t bis x 2 gelegenen Stellen jeden Werth annimmt, der 
zwischen f{xf) und f(x 2 ) gelegen ist. 
Die stetig veränderliche Gröfse y = f{x) überspringt demnach 
keinen innerhalb ihres Werthbereiches liegenden Werth, sie ist con- 
tinuirlich. 
Dieselben Betrachtungen lassen sich durchführen, wenn man eine 
Gröfse y mit n reellen Veränderlichen x v , x 2 ,... x n so verbunden 
denkt, dafs jeder Stelle eines zusammenhängenden Bereiches der wfach 
ausgedehnten Manuichfaltigkeit (einschliefslich der Grenzen) bestimmte 
reelle Werthe von y zugehöreu. 
Diese Werthe haben eine obere und untere Grenze. Im Innern 
oder auf der Begrenzung des genannten Bereiches der Variabeln gibt 
es eine Stelle (a) derart, dafs die Werthe von y, welche den Stellen 
aus einer beliebig kleinen Umgebung von (a) zugehören, der oberen 
Grenze beliebig nahe kommen, und diese Grenze wird erreicht, wenn 
y eine stetig veränderliche Gröfse ist. — 
Indem wir bemerken, dafs die in einem Intervall der reellen Va 
riablen x endliche reelle und stetig veränderliche Gröfse y — f{x) an 
einer Stelle x' des Intervalles denjenigen Werth hat, welcher die 
Grenze der (den nach x' convergirenden Variabelnwerthen zugehörigen) 
y Werthe bildet, und umgekehrt eine Gröfse y in einem Intervalle dann 
stetig zu nennen ist, wenn sie diese Eigenschaft hat, weil man nach 
Annahme einer Gröfse d' stets eine Umgebung von x' so finden kann, 
dafs für alle Stellen x derselben 
\f{x)-f{x')\ < d' 
wird und die genannte Umgebung nach Wahl einer Gröfse d auch so 
zu bestimmen ist, dafs für jedes x' des ganzen Intervalles dieselbe 
Ungleichung besteht: 
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