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II. Teil. Algebraische Funktionen. 
Art. 34. 
x — a durch \jx zu ersetzen ist), wo es sich also um die Zerlegung 
der Kurvengleichung in der Umgebung einer unbegrenzt fernen 
Stelle handelt. Wir müssen es uns versagen, auf diesen Fall hier 
einzugehen. 
YII. Abschnitt. Jeder Kurvenzug hat beiderseits 
eine Fortsetzung. 
34. Lückenloser Verlauf eines algebraischen Kurvenzuges 
im Endlichen. 
Nach dem Vorstehenden läßt sich die Gleichung einer alge 
braischen Kurve in der Umgebung einer jeden endlichen regulären 
oder irregulären Stelle (a, b) ersetzen durch eine oder mehrere 
Reihen für y— b nach Potenzen von x — a: 
y — b = [(# — a.y ]. 
Diese Gleichung beschreibt dann den Verlauf eines (superlinearen) 
Zweiges der Kurve in der Nähe des Punktes um so genauer, je 
mehr Glieder der Entwicklung man benutzt. Meist genügt für 
das Bild einer in der Umgebung verwendbaren Näherungskurve 
das erste Glied. Von wesentlicher Bedeutung werden spätere 
Glieder jedoch dann, wenn ihr Vorkommen die Realität 
eines Zweiges der ersten Näherungskurve aufhebt, wie 
im Fall der Schnabelspitze (Art. 20, 2. Beispiel). — Wir wollen 
der Einfachheit wegen wieder a = b — 0 setzen. 
Wenn der Nenner z/ der Exponenten eine ungerade 
Zahl ist, setzt sich in jedem Fall der reelle Zweig durch den 
Ursprung von der positiven auf die negative Seite der X- Achse 
fort, und zwar mit stetig sich ändernder Tangente, weil der 
Differentialquotient einer durch eine Potenzreihe dargestellten 
Funktion im Innern ihres Konvergenzbereiches durch eine eben 
falls konvergente Potenzreihe darstellbar ist (s. z. B. v. Man- 
goldt, a. a. 0. II, S. 217). Die wesentlich verschiedenen Typen, 
die verkommen können, sind in den Fig. 47, I bis IV, dargestellt 
(vgl. die Typen der Näherungskurven in Art. 9), wo der Winkel a 
der Tangente mit der X-Achse alle Werte von 0 bis % annehmen 
kann. Alle anderen möglichen Typen entstehen aus diesen durch 
Vertauschung der positiven mit der negativen Koordinatenachse 
oder der Achsen unter sich. 
Wenn dagegen der Nenner z/ eine gerade Zahl ist, 
so überschreitet die Kurve die Y-Achse nicht. Man hat dann