Kapitel YII.
Aufeinander abwickelbare Flächen.
Biegsame Flächen. — Gaußischer Satz von der Unveränderlichkeit des Krümmungs
maßes bei Verbiegung. — Kriterien dafür, ob zwei gegebene Flächen aufein
ander abwickelbar sind. — Fall der Flächen von konstantem Krümmungsmaß.
— Abwickelbarkeit eines Stückes einer Fläche von konstantem Krümmungsmaß
auf ein beliebiges anderes Stück derselben Fläche. — Flächen, die eine stetige
Verbiegung in sich gestatten. — Aufeinander abwickelbare Rotationsflächen. —
Schraubenflächen und Satz von Bour. — Die partielle Differentialgleichung zweiter
Ordnung, von der die Verbiegung einer gegebenen Fläche abhängt. — Allgemeine
Sätze über Verbiegung. — Virtuelle Haupttangentenkurven und Darbouxsche
Gleichungen. — Bonnets Satz von der Möglichkeit, eine Fläche so zu verbiegen,
daß die Haupttangentenkurven der einen Schar Haupttangentenkurven bleiben.
§ 92. Definition der Abwickelbarkeit von Flächen aufeinander.
Wie in der ebenen und in der sphärischen Geometrie die Eigen
schaften der in der Ebene oder auf der Kugel gezeichneten Figuren
ohne Rücksicht auf ihre absolute Lage im Raume untersucht werden,
ebenso kann eine analoge Untersuchung für jede beliebige Fläche S
angestellt werden. Diejenigen Eigenschaften nun, welche nur die
Größen- und Lagenbeziehungen der auf der Fläche gezeichneten Figuren
insoweit betreffen, als sie auf der Fläche gelten, machen die Geo
metrie der Fläche aus.
L T nter diesem Gesichtspunkt können zwei der Gestalt nach sehr
verschiedene Flächen dieselbe Geometrie haben. So ist es klar, daß
die Sätze der ebenen Geometrie immer noch gültig sind, wenn die
Ebene, in der die Figuren gezeichnet sind, auf einen Zylinder, einen
Kegel oder eine beliebige andere abwickelbare Fläche aufgewickelt
gedacht wird.
Um das Wesen derjenigen Eigenschaften, welche die Geometrie
einer Fläche ausmachen, recht zu erfassen, denke man sich zweck
mäßigerweise die Fläche aus einer unendlich dünnen, vollkommen
biegsamen, aber undehnbaren Hülle gebildet.
Bianchi, Differentialgeometrie. 2. Aufl.
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